Proporcionalidad I. Operaciones con segmentos

PROPORCIONALIDAD

Es la relación que existe entre 2 figuras de igual forma y distinto tamaño.

Razón (K)

Dados 2 segmentos a y b, la razón es la relación entre las longitudes de ambos segmentos.
Dados 4 segmentos (a, b, c y d) tomados dos a dos, se dice que son proporcionales si las razones son iguales (Fig.1). a/b=c/d. Se denominan medios: b y c. Son extremos: a y d.

Proporcionalidad directa: 

Dos magnitudes son directamente proporcionales si varían de tal forma que su razón permanece constante. a/b=a’/b’=a”/b”=… = K.

Proporcionalidad inversa: 

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si varían de tal forma que su producto permanece constante. a·b=a’·b’=a”·b”=… = K

TEOREMA DE TALES

Descubre algo de este interesante personaje aquí.

Si un haz de rectas paralelas cortan a 2 rectas concurrentes (Fig.2), los segmentos resultantes sobre la recta r son proporcionales a los determinados sobre la recta s. Son directamente proporcionales. AB/A’B’=BC/B’C’. También se cumple: AB/BC=A’B’/B’C’

Veamos un ejemplo claro de el Teorema de Tales  en uno618, gracias al programa Geogebra.

APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES

División de un segmento en partes iguales

A partir de un extremo de un segmento, se traza una semirrecta sobre la que se marcan tantas divisiones iguales como partes en las que se quiera dividir el segmento. Unimos el último punto con el extremo del segmento y se trazan paralelas a esta recta por las divisiones obtenidas quedando así el segmento dividido en partes iguales.

División de un segmento en partes proporcionales

Se procede del mismo modo pero ahora las divisiones no son iguales. Las divisiones así obtenidas en el segmento mantendrán la misma proporción entre ellas que las dibujadas en la semirrecta trazada.

Cuarto proporcional a tres segmentos

Dados tres segmentos a, b y c, se denomina cuarta proporcional al segmento x, si éste cumple que: a/b=c/x.

APLICACIÓN: Producto de dos segmentos

Fuente: wiki "Rincon de Artes y Dibujo"

Tomamos un segmento como unidad, por ejemplo el c.

Basándonos en la cuarta proporcional:

• a . b = x
• a . b = x . c siendo c = 1
• a/c = x/b c/a = b/x

APLICACIÓN: División entre dos segmentos

Fuente: wiki "Rincon de Artes y Dibujo"

Basándonos en la 4ª proporcional y a partir de dos segmentos dados, a y b, tomamos un segmento como unidad, por ejemplo el c.

a/b = x
a/b = x/c siendo c = 1
Luego b/a = c/x

Tercera proporcional a dos segmentos dados

Dados dos segmentos a, y b, se denomina tercera proporcional al segmento x, si éste cumple que:

a/b=b/x

APLICACIÓN: CUADRADO DE UN SEGMENTO

Fuente: wiki "Rincon de Artes y Dibujo"

Nos basamos en la 3º proporcional y además tomamos un segmento c como unidad.

a . a = x
a . a = x . c siendo c = 1
Luego a/c = x/a ó           c/a = a/x

EN RESUMEN: 

Presentación del todo el tema:

Proporcionalidad de epvmanantiales

EJERCICIOS- PROBLEMA

1. Ejercicios de tercera y cuarta proporcional.
2. Cuadernillo de ejercicios por Anabel Sanchez. Soluciones 1 y soluciones 2.

APUNTES

• Apuntes de Anabel Sanchez
• Demostraciones visuales con Geogebra en la web uno618.
• Extraídos de ÁREA DE DIBUJO. ES (Andalucía):
  
  • Operaciones con segmentos 1:
  • Suma, resta, división en partes iguales y división en partes proporcionales.

Entradas de Interés:

• wiki "Rincon de Artes y Dibujo"
• Introducción a la Geometría métrica y sus unidades didácticas. Web PIZIADAS.
• Geometría métrica y teorema de Pitágoras en la web PIZIDAS. Una visión muy interesante de todo lo que hemos visto en esta entrada desde un ángulo diferente, empezando con Pitágoras.
• En la misma página Teoremas de la altura y el cateto.
• Teorema de la altura y teorema del cateto Geogebra.