Tangencias I:

TANGENCIAS, ENLACES Y RECTIFICACIONES. Dibujo Técnico I de JUAN DIAZ ALMAGRO

PRELIMINARES:

Una recta y una circunferencia son tangentes cuando el radio que pasa por el punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.








 El lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a una recta, en uno de sus puntos, es la perpendicular a la recta en dicho punto:

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES

Considerando que en le punto de tangencia es posible trazar una recta tangente a las dos circunferencias en cuestión, se observa que por ser esta recta perpendicular a cada uno de los radios se cumple que:

Los radios que pasan por el punto de tangencia de dos circunferencias tangentes exteriores están en prolongación.

                                                                      CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES

Así mismo, considerando que el el punto se puede trazar una recta tangente a ambas, se obtiene en consecuencia, que debiendo ser esta recta perpendicular a cada uno de los radios, resulta que:

Los radios que pasan por el punto de tangencia de dos circunferencias tangentes interiores están superpuestos.

CONDICIONES GENERALES DE TANGENCIAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS

De lo dicho en los párrafos anteriores se deduce:

La recta que une los centros de las circunferencias tangentes (interiores o exteriores), pasa por el punto de tangencia.

Recíprocamente,
Las circunferencias tangentes a otra dad en un punto, T, de la misma tienen su centro sobre la recta que pasa por el centro sobre la recta que pasa por el centro de la dada y por el punto de tangencia, esta recta, es pues,

lugar geométrico de los centros de todas las posibles circunferencias tangentes a la dada en aquel punto de tangencia.

                                                                              CIRCUNFERENCIAS DE RADIO DADO TANGENTES A UNA RECTA

El lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio dado tangentes a una recta son las parelas trazadas a la recta a una distancia igual al radio dado.

CIRCUNFERENCIAS DE RADIO DADO TANGENTES EXTERIORES A UNA CIRCUNFERENCIA

El lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio dado tangentes exteriores a otra circunferencia dada, es otra circunferencia concéntrica de aquella, cuyo radio es igual a la suma de los radios.

DADOS TRES RADIOS, TRAZAR TRES CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ EXTERIORES

CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO TANGENTES INTERIORES A OTRA CIRCUNFERENCIA DADA

CIRCUNFERENCIAS DE RADIO DADO TANGENTES A DOS RECTAS QUE SE CORTAN

CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO TANGENTE A UNA RECTA Y QUE PASE POR UN PUNTO P

CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO TANGENTE A OTRA DADA Y QUE PASA POR UN PUNTO P

CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR UN PUNTO DADO Y ES TANGENTE A UNA RECTA, CONOCIDO EL PUNTO DE TANGENCIA

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA DADA QUE PASA POR UN PUNTO EXTERIOR DADO, CONOCIDO EL PUNTO DE TANGENCIA

CIRCUNFERENCIAS INSCRITA Y EXINCRITA A UN TRIÁNGULO

RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR

Primer procedimiento:

Para cumplir la condición de tangencia es necesario que los ángulos T sean rectos.

Para determinar T constrúyase el arco capaz del ángulo recto que pasa por A, O.

Segundo procedimiento por medio de ARCO CAPÁZ

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OTRA CONSTRUCCIÓN POR 

RECTAS TANGENTES EXTERIORES COMUNES A DOS CIRCUNFERENCIAS

Primer procedimiento por dilatación-contracción:

Este procedimiento consiste en reducir las condiciones dadas a otras que lleven a un problema ya resuelto, se dibuja una figura de análisis proporcional a la dada y se buscan y encuentran las propiedades que se exigen en su trazado. 

El procedimiento más aplicado en estos métodos es el de dilatación-contracción, que consiste en plantear el ejercicio de forma que se pueda encontrar una solución análoga; un ejemplo es cuando se reducen los datos planteados sumándolos o restándolos.

Ver procedimiento en la web uno681

Considerando la tangente T1T1´ se observa que forma parte de un trapecio rectángulo CT1T1´C´; que quedará resuelto al serlo el triángulo rectángulo C (punto T1 sin dilatar) y C´. Del que se conoce la hipotenusa y el cateto r-r´.

La base mayor del trapecio determinará el punto de tangencia T1 y su paralela por C´, T1´(análogo razonamiento para la simétrica) 

Segundo procedimiento por homotecia positiva de dos circunferencias

Se funda este procedimiento en que el punto C de intersección de las dos tangentes es el centro de homotecia positiva de las dos circunferencias, verificándose que T1 es homotético de T2, y A homotético de B. Basta pues, dadas las circunferencias de centros O y O1, trazar una recta cualquiera O1-A y por O, la paralela O-B a ella. Se unen A y B y se obtiene el punto C en la línea de centros. Para tener los puntos de tangencia se trazan arcos de centros en C y que pasen por O y O1.

RECTAS TANGENTES INTERIORES COMUNES A DOS CIRCUNFERENCIAS

Primer procedimiento dilatación

CIRCUNFERENCIAS DE RADIO DADO A DOS CIRCUNFERENCIAS

Este ejercicio tiene 8 soluciones posibles para un mismo caso:

TANGENTES EXTERIORES A AMBAS

TANGENTES INTERIORES A AMBAS

TANGENTES EXTERIORES A UNA DADA E INTERIORES A LA OTRA

CIRCUNFERENCIAS DE RADIO DADO TANGENTES A UNA RECTA Y A OTRA CIRCUNFERENCIA

Este problema tiene 4 soluciones:

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EJERCICIOS:

• Fotocopia y realiza las láminas de Tangencias básicas de laslaminas.com
• Imprime 8 láminas de piezas donde aplicar problemas de tangencias básicos.
• PAU 2016 Madrid. Ejercicio B1. Solución

APUNTES:

• Tangencias en laslaminas.es. Colección de apuntes y ejercicios para 1º Bachillerato
• Tangencias básicas. IES Nou Derramador
• Tangencias. Web de Jose Antonio Cuadrado.