Proporcionalidad Inversa: Potencia. Eje radical y Centro radical

El concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia permite relacionar las nociones estudiadas en los teorema de Thales y Pitágoras y es la puerta para el estudio de los problemas de tangencias y transformaciones como la inversión. (Fuente: Piziadas)

Usaremos los conceptos de arco capaz sobre un segmento en nuestras demostraciones, por lo que se sugiere su repaso.
Este concepto se basa en el producto de dos segmentos y, como veremos mas adelante, permite determinar algunos lugares geométricos de gran importancia como por ejemplo el eje radical de dos circunferencias.

Definición: 

POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA 

CIRCUNFERENCIA

Es una transformación geométrica basada en la proporcionalidad inversa.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si ambas varían en sentido inverso, es decir, si una aumenta, la otra debe de disminuir, y viceversa. Su producto permanece constante.
(Fuente) Si trazamos secantes desde un mismo punto hacia una circunferencia, puede demostrarse que los productos de los segmentos que forman dicho punto con los dos puntos de corte en la circunferencia son constantes.
A este valor constante se le denomina potencia del punto P respecto a la circunferencia.
Esta constante también se cumple para las rectas secantes en los puntos extremos, esto es, las tangentes exteriores.

Fig. 1

Si el punto P es interior a la circunferencia, el valor de la potencia es negativo (los segmentos tienen distinto sentido).

Demostración

HAZ DE CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR DOS PUNTOS FIJOS A, B.

Son todas las posibles circunferencias que pasan por dos puntos dados. Sus centros pertenecen a la mediatriz de AB.

Ver en geogebra

La recta que pasa por AB es la secante común a todas las circunferencias del haz.

Siendo fijos A y B, desde un punto exterior cualquiera perteneciente a esta secante, se cumple que el producto PAxPB =PT2 (PT cuadrado) para todas las circunferencias del haz. Por tanto, la distancia PT es igual. Se dice,  que un punto P, tiene la misma potencia respecto al haz.

EJE RADICAL

El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de las dos circunferencias.

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS SECANTES

De lo dicho en el apartado anterior, haz de circunferencias que pasan por dos puntos AB, se deduce que: el eje radical de dos circunferencias secantes es la recta secante común a ambas que pasa por los puntos de intersección.

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES

Este lugar geométrico es una recta que debe ser perpendicular a la recta que une los centros de las dos circunferencias.

(Demostración Piziadas).

Fig. 2

La posición del eje radical de dos circunferencias exteriores , se encuentra , auxiliándose de otra circunferencia secante a las dadas
, lo que permite determinar un punto P común perteneciente al lugar buscado. El punto P es el punto de intersección de los ejes radicales que se forman entre la circunferencia auxiliar y las circunferencias dadas.
Basta luego, trazar por P la perpendicular a la recta que une los centros para dar con el eje radical buscado.

Obtención de los ejes radicales en diferentes casos según las posiciones relativas de dos circunferencias

• Si las circunferencias son secantes, basta unir los dos puntos de corte (que tienen potencia cero para ambas). (Ver vídeo)
• Si las circunferencias son tangentes, el eje radical pasa por el punto de tangencia. (Ver vídeo)
• Si las circunferencias son exteriores, basta con trazar una tercera que corte a ambas. Luego se trazan los ejes radicales de ésta con respecto a las otras dos. Estos dos ejes radicales se cortan en un punto del eje radical de las dos primeras. (Ver vídeo con todos los casos)

Segundo procedimiento:

Fig. 3

El punto medio, P, del segmento T1, T2, perteneciente a una de las tangentes comunes a las circunferencias de centros O1 y O2, están a la misma distancia "raiz cuadrada de K", de los puntos T1 y T2. Se puede afirmar, por tanto, que el punto P tiene la misma potencia, K, respecto de las dos circunferencias y, en consecuencia, el eje radical er, de ambas es la perpendicular por P a la recta O1O2.

En la fig. 3 se puede apreciar que el eje radical er no coincide con la mediatriz del segmento T1T2. Solo en el caso de que ambas circunferencias sean iguales coincidirán las dos rectas. (Realizar construcción)

• Eje radical de una circunferencia interior a otra.

.

• Eje radical de dos circunferencias tangentes interiores.

• Caso límite. Eje radical de una circunferencia y un punto.

CENTRO RADICAL DE TRES CIRCUNFERENCIAS

El centro radical de tres circunferencias el el punto del plano que tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias.

Es, por tanto, el punto de intersección de los tres ejes radicales de las circunferencias tomadas de dos en dos.
El centro radical se puede obtener mediante la intersección de dos ejes radicales:

EJERCICIOS

• Ejercicios sobre ejes y centros radicales diseñados por Gonzalo Abella.
• Ejercicios de enlaces en "la nube artística" para practicar con QCad o dibujando al modo tradicional.

APUNTES

• Buena explicación del tema en " La nube artística"
• Polar, centro y eje radical de la web 10 en dibujo. Interesante planteamiento del profesor Pablo, donde explica exclusivamente lo que debes dominar para enfrentarte a los problemas.
• Potencia. Apuntes completos para imprimir si te apañas mejor estudiando con texto.