lunes, 2 de enero de 2017

Cónicas II: La Hipérbola

Bala disparada por una pistola, que viaja con una velocidad 1.5 veces la del sonido.


1. LA HIPÉRBOLA: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES

Puedes seguir estudiando todos estos conceptos desde la estupenda página elaborada por José Antonio Cuadrado: Curvas Cónicas.

1.1. Definición: 

La hipérbola es una curva plana y abierta, que se define como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos es constante e igual a 2a, siendo AB=2a la longitud del eje real. Los puntos fijos F y F´ son los focos.
Ver en Geogebra



1.2. Elementos y propiedades más importantes:


  • Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la curva.
  • El eje AB se llama eje real y se representa por 2a (AB).
  • El eje menor CD se representa 2b y se llama imaginario por que no tiene puntos comunes con la curva.
  • Los focos están en el eje real.
  • La distancia focal F F´ se representa por 2c.
  • Entre a, b y c existe la relación: c2=a2+b2
  • Es simétrica respecto a los dos ejes y por tanto respecto al centro O.
  • Las rectas que unen un punto P de la curva con los dos focos se llaman radios vectores. Por la definición se verifica que: r - r´= 2a
  • La circunferencia principal de la hipérbola es la que tiene por centro O y radio a. Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentes.
Visita la página de Jose Antonio Cuadrado para comprobar esta definición

  • Las circunferencias focales tienen por centros los focos y radio 2a (AB).
  • La hipérbola se define también como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal del otros foco.
Visita la página de Jose Antonio Cuadrado para comprobar esta definición

  • Las asíntotas de la hipérbola son las tangentes a la curva en el infinito. Son simétricas respecto de los ejes y pasan por el centro de la curva.

2. CONSTRUCCIÓN

2.1. Hipérbola por puntos dados los ejes.

Pincha par ver vídeo paso a paso

2.2 Hipérbola por haces proyectivos.

Ver vídeo Hipérbola por haces proyectivos
EJERCICIO: selectividad en Murcia 2014


2.3. Hipérbola por envolventes.

2.4 HIPÉRBOLA DADAS LAS ASÍNTOTAS Y UN PUNTO DE LA CURVA.

Comprueba la propiedad en Geogebra







Este problema se resuelve analizando la relación que existe entre las asíntotas y un punto cualquiera de la hipérbola.

De esta manera dado un punto cualquiera podremos trazar rectas que corten a las asíntotas e igualar las distancias para obtener los puntos necesarios para dibujar una rama. La otra rama se obtiene por simetría.

3. RECTAS TANGENTES A LA HIPÉRBOLA

3.1. Tangente por un punto P de la hipérbola

Ver en Geogebra






La tangente a la hipérbola en el punto P es la recta t, bisectriz de los radios vectores de ese punto. 
La normal a la curva en el punto P es la recta n, perpendicular a la tangente.

3.2 CIRCUNFERENCIAS FOCALES

ver en Geogebra




Si se representa una tangente cualquiera a la curva, se comprueba que el simétrico de F2 respecto de la tangente es el F2', situado sobre el otro radio vector. 

Atendiendo q que t es la bisectriz del ángulo que se forma en T, se observa que TF2 = TF2', con lo que F1F2' = k = AB. 

Lo que permite enunciar que:

El lugar geométrico que ocupan los simétricos de un foco, F1 o F2 respecto de las tangentes, a su rama correspondiente, es una circunferencia con centro en el otro foco y radio igual al eje real AB.


Los dos lugares geométricos que se pueden obtener se denominan circunferencias focales.

3.3 Tangente a la hipérbola por un punto exterior.

geogebra


Siendo P el punto exterior dado, los simétricos de F2 respecto a las tangentes buscadas, deben estar en la circunferencia focal de centro F1 y, además equidistar de P. Por tanto se encuentran trazando la circunferencia de centro en P y radio PF2.

Como las tangentes pedidas deben de ser mediatrices de los segmentos F2 F2' y F2F2'', y por supuesto, pasaran por el punto P.
Los puntos de tangencia se encontrarán sobre las rectas que unen F1 con F2' y con F2''.

Recomiendo ver el vídeo muy bien explicado por Ester Alonso y los gráficos interactivos en uno618.

3.4 Tangentes a una hipérbola paralelas a una dirección dada



Sea d la dirección dada.
Por ser las tangentes que se buscan paralelas a esa dirección, la perpendicular a ellas desde un foco F, lo será también a la dirección dada.

Trazada por F la perpendicular a la d, quedaran determinados sobre la circunferencia focal de F', los puntos F1 y F2, simétricos al foco F respecto de las tangentes buscadas.

Las mediatrices t1 y t2 de los segmentos FF1 y FF2, paralelas a la dirección, son las tangentes pedidas.

Los puntos de tangencia se encuentra sobre t1 y t2, en las rectas que pasan por F' y por cada uno de los respectivos simétricos.

Ver gráfico de uno618
Ver vídeo. Otro realizado con geogebra

EJERCICIOS

Cualquier problema planteado en la elipse en este capítulo se podría formular de igual forma para la hipérbola. Os dejo, a continuación, algunos problemas resueltos:

4. CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL



Trazada una tangente en un punto de la hipérbola, se observa que en el triángulo F1F2'F2, M es punto medio del lado F2'F2. También O lo es del F1F2, en consecuencia, OM' será paralela media de dicho triángulo y su longitud igual 1/2 de F1F2' y siendo

F1F2'' = K =AB; OM = 1/2 AB

Se llega a la conclusión:

OM = 1/2 K = 1/2 AB = OA

Además F2M es perpendicular a la tangente, t, podrá enunciarse que:

Los pies de la perpendiculares trazadas a las tangentes desde los focos, están situados sobre una circunferencia de centro O y radio igual al semieje real.

Dicha circunferencia se denomina principal y es, por tanto el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes de la hipérbola.

Ver uno618

4.1 Tangentes a la hipérbola desde un punto exterior utilizando la circunferencia principal.

Según lo dicho para la circunferencia principal, el pie de la perpendicular, M, (M'), deben de estar sobre la circunferencia principal, trazando la circunferencia de diámetro PF, lugar geométrico de los vértices de los ángulos rectos cuyos lados pasan por P y F2 (arco capaz), quedará determinada la tangente, t y t' buscadas.

Situando el simétrico de F2, F2' y F2'' respecto de la tangente y uniendo estos puntos con F1 se obtendrán los puntos de tangencia T y T' buscados.

4.2 Tangentes a la hipérbola paralelas a una dirección dada utilizando la circunferencia principal.


Ver en Geogebra



La perpendicular a la dirección dada, lo será también a las tangentes pedidas. De esta forma quedarán determinados los puntos M y M' una vez trazada la circunferencia principal.Los puntos de tangencia se encuentran donde se une el foco con los simétricos del otro foco.

5. ASÍNTOTAS DE UNA HIPÉRBOLA

Ver en geogebra
Si la perpendicular a una dirección dada resulta tangente a la circunferencia principal, M, punto de tangencia, representa el único pie de la perpendicular de la tangente a la curva.
Determinada la posición F1 para determinar el punto de tangencia resulta que la recta F1F' es paralela a la recta t.  Es decir, t pasa por el centro O, puesto que FM es tangente a la circunferencia principal y t es perpendicular a dicha tangente. En consecuencia, los puntos de tangencia de t con la curva son impropios.
Las asíntotas pasan por el centro O de la curva y son tangentes de la curva en el infinito. Por tanto el problema se plantea como trazar las tangente desde el punto O.
Geogebra




Se denominan asíntotas de la hipérbola a sus tangentes en los puntos impropios o en el infinito.





Podemos trazar dos asíntotas que pasan por O, centro de simetría y por los pies, M y M', de las perpendiculares que dichas tangentes tienen sobre la circunferencia principal.

Se resuelve el problema trazando las tangentes desde un foco a la circunferencia principal.
Otra forma:
Ver uno618

6. PUNTOS DE INTERSECCIÓN RECTA 

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos que son centros de circunferencias tangentes a una circunferencia focal y que pasa por el otro foco que no es centro de la focal.




Descubre este lugar geométrico en la definición de hipérbola que nos ofrece José Antonio Cuadrado.

Es decir, los puntos de intersección de una recta r y de la hipérbola son los centros de las circunferencias tangentes a la focal F1 y que pasan por los puntos simétricos de F2 respecto de la recta r. 
Se resuelve este problema de tangencias ya estudiado "Hallar las circunferencias tangentes que pasan por dos puntos"



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