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| De MichaelMaggs Edit by Richard Bartz - Trabajo propio, CC BY-SA 3.0, |
1. LA PARÁBOLA: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES
Puedes seguir estudiando todos estos conceptos desde la estupenda página elaborada por José Antonio Cuadrado: Curvas Cónicas.
1.1. Definición:
Geogebra
La parábola es una curva plana, abierta y de una sola rama. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco, y de una recta fija d, llamada directriz.
Tiene un vértice A y un eje de simetría que pasa por A y por el foco y es perpendicular a la directriz. La tangente en el vértice a la curva es paralela a la directriz.
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| Geogebra |
La parábola es una curva plana, abierta y de una sola rama.
Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco, y de una recta fija d, llamada directriz.
Tiene un vértice A y un eje de simetría que pasa por A y por el foco y es perpendicular a la directriz. La tangente en el vértice a la curva es paralela a la directriz.
1.2. Elementos y propiedades más importantes:
- El vértice, como otro punto cualquiera, equidista de la directriz y del foco, es decir DA = AF.
- Los radios vectores del punto P son CP y PF.
- Se llama parámetro 2p de la parábola, al igual que en la elipse y la hipérbola, a la longitud de la cuerda que es perpendicular al eje del foco.
- La directriz de la curva hace de circunferencia focal de la parábola, en este caso de radio infinito. Según esto, la directriz es el lugar geométrico de los puntos del plano simétricos al foco respecto de una tangente.
- La tangente en el vértice, aunque es una recta hace de circunferencia principal y se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por el foco a cada una de las tangentes. Visita la página de Jose Antonio Cuadrado para comprobar esta definición
- El foco equidista del punto de tangencia de una tengente y del punto donde esta corta al eje de la curva.
- El vértice, como otro punto cualquiera, equidista de la directriz y del foco, es decir DA = AF.
- Los radios vectores del punto P son CP y PF.
- Se llama parámetro 2p de la parábola, al igual que en la elipse y la hipérbola, a la longitud de la cuerda que es perpendicular al eje del foco.
- La directriz de la curva hace de circunferencia focal de la parábola, en este caso de radio infinito. Según esto, la directriz es el lugar geométrico de los puntos del plano simétricos al foco respecto de una tangente.
- La tangente en el vértice, aunque es una recta hace de circunferencia principal y se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por el foco a cada una de las tangentes. Visita la página de Jose Antonio Cuadrado para comprobar esta definición
- El foco equidista del punto de tangencia de una tengente y del punto donde esta corta al eje de la curva.
2. CONSTRUCCIÓN
2.1. Parábola por puntos.
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| J.A. Cuadrado |
2.2 Parábola por haces proyectivos.
EJERCICIO: selectividad en Asturias 2014
2.3. Parábola por envolventes.
Parábola plegando papel (Por envolventes)EJERCICIOS:
- Determinar el foco y directriz de parábola dado un punto, el vértice y eje.
- Parábola dado el Eje, Foco y un punto. PAU de Dibujo Técnico de Asturias, junio 2014.
- Parábola dada la directriz y dos tangentes.
Parábola plegando papel (Por envolventes)
EJERCICIOS:
- Determinar el foco y directriz de parábola dado un punto, el vértice y eje.
- Parábola dado el Eje, Foco y un punto. PAU de Dibujo Técnico de Asturias, junio 2014.
- Parábola dada la directriz y dos tangentes.
3. RECTAS TANGENTES A LA PARÁBOLA
3.1. Tangente por un punto P de la Parábola.
La tangente a la parábola en el punto P es la recta t, bisectriz de los radios vectores de ese punto.
La normal a la curva en el punto P es la recta n, perpendicular a la tangente.
3.2 DIRECTRIZ DE LA PARÁBOLA
Si se representa una tangente cualquiera a la curva, se comprueba que el simétrico de F respecto de la tangente es el F', situado sobre la perpendicular a la directriz desde el punto de tangencia T.
Lo que permite enunciar que:
El lugar geométrico que ocupan los simétricos del foco respecto de las tangentes a la parábola es la directriz.
3.3 Tangente a la parábola por un punto exterior.
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| Geogebra |
Siendo P el punto exterior dado, los simétricos de F' y F'' respecto a las tangentes buscadas, deben estar en la directriz de la parábola y, además, equidistar de P. Por tanto se encuentran trazando la circunferencia de centro en P y radio PF.
Como las tangentes pedidas deben de ser mediatrices de los segmentos F F' y FF'', y por supuesto, pasaran por el punto P.
Los puntos de tangencia se encontrarán sobre las rectas perpendiculares a la directriz que pasan por F' y F''.
Recomiendo ver los gráficos interactivos en uno618.
3.4 Tangentes a una parábola paralelas a una dirección dada
Sea d la dirección dada.
Por ser la tangente que se buscan paralelas a esa dirección, la perpendicular a ellas desde un foco F, lo será también a la dirección dada.
Trazada por F la perpendicular a la d, quedaran determinados sobre la directriz F' simétrico del foco F respecto de las tangentes buscadas.
La mediatriz t del segmento FF', paralela a la dirección, es la tangente pedida.
El punto de tangencia se encuentra sobre t, en las rectas perpendicular a la directriz que pasan por F'.
EJERCICIO: Realizar los siguientes ejercicios explicados en este vídeo por Esther Alonso
- Trazar la parábola dados dos puntos y su foco.
- Parábola dado dos tangentes y su foco.
- Parábola dada tangente el eje y su foco.
- Dadas dos tangentes y sus puntos de tangencia determinar el eje, la directriz y el foco.
4. TANGENTE EN EL VÉRTICE DE LA PARÁBOLA
Si la dirección dada es la de la directriz, la tangente pasa por el punto medio A. Esto es la tangente en el vértice de la curva.
Si trazamos otra tangente por un punto cualquiera de la curva, se observa que el triángulo FDC, el punto A es el punto medio de FD y M lo es de FC y por tanto AM es paralela media, siendo M el pie de la perpendicular del foco a la tangente, t.
Por tanto:
La tangente en el vértice de la parábola es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde el foco a las tangentes.
Si la dirección dada es la de la directriz, la tangente pasa por el punto medio A. Esto es la tangente en el vértice de la curva.
Si trazamos otra tangente por un punto cualquiera de la curva, se observa que el triángulo FDC, el punto A es el punto medio de FD y M lo es de FC y por tanto AM es paralela media, siendo M el pie de la perpendicular del foco a la tangente, t.
Por tanto:
Si trazamos otra tangente por un punto cualquiera de la curva, se observa que el triángulo FDC, el punto A es el punto medio de FD y M lo es de FC y por tanto AM es paralela media, siendo M el pie de la perpendicular del foco a la tangente, t.
Por tanto:
La tangente en el vértice de la parábola es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde el foco a las tangentes.
4.1 Tangentes a la parábola desde un punto exterior utilizando la circunferencia principal.
Según lo dicho para la circunferencia principal, el pie de la perpendicular, M, (M'), deben de estar sobre la circunferencia principal, trazando la circunferencia de diámetro PF, lugar geométrico de los vértices de los ángulos rectos cuyos lados pasan por P y F2 (arco capaz), quedará determinada la tangente, t y t' buscadas.
Situando el simétrico de F2, F2' y F2'' respecto de la tangente y uniendo estos puntos con F1 se obtendrán los puntos de tangencia T y T' buscados.
Según lo dicho para la circunferencia principal, el pie de la perpendicular, M, (M'), deben de estar sobre la circunferencia principal, trazando la circunferencia de diámetro PF, lugar geométrico de los vértices de los ángulos rectos cuyos lados pasan por P y F2 (arco capaz), quedará determinada la tangente, t y t' buscadas.
Situando el simétrico de F2, F2' y F2'' respecto de la tangente y uniendo estos puntos con F1 se obtendrán los puntos de tangencia T y T' buscados.
4.2 Tangentes a la parábola paralelas a una dirección dada utilizando la circunferencia principal.
La perpendicular a la dirección dada, lo será también a las tangentes pedidas. De esta forma quedarán determinados los puntos M y M' una vez trazada la circunferencia principal.Los puntos de tangencia se encuentran donde se une el foco con los simétricos del otro foco.
La perpendicular a la dirección dada, lo será también a las tangentes pedidas. De esta forma quedarán determinados los puntos M y M' una vez trazada la circunferencia principal.Los puntos de tangencia se encuentran donde se une el foco con los simétricos del otro foco.
6. PUNTOS DE INTERSECCIÓN RECTA
La parábola es el lugar geométrico de los puntos que son centros de circunferencias tangentes que, pasando por un foco son tangentes a la directriz.
Descubre este lugar geométrico en la definición de parábola que nos ofrece José Antonio Cuadrado.
Es igual que en los casos anteriores, con la salvedad de que ahora la circunferencia focal es una recta, la directriz.
Se resuelve este problema de tangencias ya estudiado ejercicio Nº 2 "Hallar las circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta".
EJERCICIOS
- Colección de ejercicios de lasláminas. es. Soluciones
- Ejercicios de cónicas por Gonzalo Abella
APUNTES
- Introducción a las curvas técnicas. Repaso de los estudiados el curso pasado.
- Curvas Técnicas.
- Estudio de la elipse, parábola e hiperbola en la web de José Antonio Cuadrado
- La elipse en laminas.es
- La parábola en láminas.es
- La hipérbola en láminas.es
- Apuntes completos Ed. Sandoval
- Apuntes completos del IES Alfonso X. Desde tangencias y cónicas
- Presentación con los trazados paso a paso. Otra versión
CURIOSIDADES
- Trazado de la hipérbola con hilos
- Trazado de la hipérbola doblando papel
- El hiperboloide
- Espirógrafo On line
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