Homología y Afinidad

Grabado en perspectiva de Alberto Durero

Refresca los contenidos propuestos para este curso según BOE

Nos enfrentaremos a estos contenidos por medio de la excelente página de José Antonio Cuadrado "Homologías".

1. Homología. Definición y elementos.

La homología es una transformación anamórfica (no es isomórfica ni isométrica), pues no mantiene la forma ni el tamaño de las figuras. Transforma los puntos del plano: A, B, C, ... en puntos del plano A', B' C', ... de modo que: dos puntos homólogos A y A' están alineados con un punto fijo O que es el centro de la homología; dos rectas homólogas r y r' se cortan en una recta doble llamada eje de la homología.

1.1 Elementos dobles en la homología

Si observamos la figura anterior podremos encontrar puntos dobles, es decir homólogos de sí mismos, como el centro O y los que pertenecen al eje.
En consecuencia:

• Si una recta corta al eje, su homológica también lo cortará en el mismo punto.
• Si una figura es tangente al eje, su homológica también lo será en el mismo punto.
• Si una figura no tiene puntos comunes con el eje, su homológica tampoco.
• Si una figura pasa por el centro, su homológica también pasará por él. Si estas figuras son curvas, serán tangentes en el citado centro.

En la homología hay rectas dobles: el eje que es doble punto a punto, y todas las rectas que pasan por O, aunque solo tengan dos puntos dobles, el propio punto O y los puntos que interceptan el eje.

2. Rectas límite. 

Veamos el vídeo realizado por Nestor Martín que me parece muy clarificador en cuanto a las rectas límite. También, observa la importancia que tiene practicar el dibujo a mano alzada para la comprensión del dibujo:

En perspectiva cónica a la recta límite l se llama línea del horizonte como bien nos ha explicado el profesor Néstor Martín en su vídeo.

• Veamos también la explicación que nos ofrece PDD sobre las Rectas límite.

• En la página del profesor Luis Pérez podrás comprobar de forma interactiva:

• El lugar geométricos de las rectas límite. Realiza los siguientes ejercicios:

• Dada una pareja de puntos homólogos, centro y eje, determinar L.
• Dada una pareja de puntos homólogos, centro y eje, determinar L'.
• Dado centro, eje y recta límite L, calcular el homólogo de A. 
• Dado centro, eje y recta límite L', calcular el homólogo de A.

• Posición relativa de las rectas límite.
• Propiedades de las rectas límite.

2.1 EJERCICIOS

2.1.1. Calcular el homólogo de un punto dado el eje, centro y recta límite L.
2.1.2. Calcular el homólogo de un punto dado el eje, centro y recta límite L'.
2.1.3. Calcular el homólogo de una recta dado el eje, centro y recta límite L.
2.1.4. Calcular el homólogo de una recta dado el eje, centro y recta límite L.

3. DEL ESPACIO AL PLANO

La siguiente presentación nos puede ayudar a comprender el proceso de pasar de una homografía en el espacio a una homología en el plano.

Homologia de Dibujing

4. DETERMINACIÓN DE UNA HOMOLOGÍA

Para definir una homología son necesarios tres datos entre el eje, el centro, una pareja de rectas, la dirección del eje, un par de puntos homólogos, rectas límite, etc. De entre todos los casos posibles veamos como se resuelven los siguientes casos expuestos en la web de Jose Antonio Cuadrado hasta su completa resolución. 

1. El centro, el eje y un par de puntos homólogos.
2. El centro, el eje y una recta límite.
3. El centro y dos rectas límites.
4. El eje, una recta límite y un par de puntos homólogos.
5. La dirección del eje y dos parejas de puntos homólogos.

5. CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS HOMÓLOGAS

• 5.1 Homólogo de un Triángulo.
• Selectividad andalucía 2009.
• Pau Asturias 2014
• 5.2 Homólogo de un cuadrado.
• 5.3 Homólogo de una circunferencia:
• Circunferencia a elipse. (Otro vídeo)
• Circunferencia a hipérbola.
• Circunferencia a parábola.

6. TRANSFORMACIÓN DE FIGURAS

En este apartado veremos qué modificaciones son necesarias realizar en los elementos de una homología para conseguir transformar formas en otras determinadas.

• 6.1 Transformar un triángulo escaleno en equilátero. Explicado en el blog "Homologías" de Néstor Martín.
• 6.2 Transformar un cuadrilátero por homología en un cuadrado. Otro vídeo.

7. CASOS PARTICULARES DE HOMOLOGÍA

Si en una homología el eje, el centro o ambos a la vez se presentan como puntos impropios o están en el infinito, estos casos de transformaciones se consideran como casos límites de homología.

Veamos la síntesis que nos muestra Luis Pérez en su web: Homotecia y afinidad

7.1 Eje impropio: HOMOTECIA

Este caso particular de homología se produce cuando el eje es impropio, es decir los planos que cortan el haz proyectivo son paralelos y, por tanto, los puntos donde deben cortar las parejas de rectas homológicas son impropios y por tanto paralelas. 

Gráfico interactivo por
Antonio L. Blanco Ventosa

Esta condición convierte a la homología en una homotecia de centro CH y razón:

CHJ/CHJ'=CHI/CHI'= constante

Si además, el valor de la razón es -1 tendremos una simetría central o un giro de 180º.

Repasa los conceptos de homotecia en la web de Esther Alonso.

7.2 Centro impropio: AFINIDAD

La afinidad se produce cuando el centro de homología es impropio y, por tanto, los rayos de homología son paralelos.
Este caso particular se denomina homología afín o afinidad.

Visita la web de Jose Antonio Cuadrado

Estudiaremos con más profundidad este caso particular a continuación por su importancia en el estudio de los sistemas de representación basados en la proyección cilíndrica que se verán más adelante.

7.3 Centro impropio y eje impropio: TRASLACIÓN

En este caso, los rayos de homología son paralelos y la pareja de rectas homológicas también lo son.

8. AFINIDAD 

Veamos la síntesis que nos muestra Luis Pérez en su web: Homotecia y afinidad.

Para el estudio de esta parte nos dirigiremos a la web "Dibujo Industrial y Civil" y después os propongo resolver los siguientes ejercicios:

• 8.1  Vídeo Figura afín de un hexágono (Selectividad 2009).

• 8.2 Afinidad de una circunferencia. 

La figura afín de una circunferencia siempre es una elipse. Vamos a ver tres formas distintas de resolver este problema:

1. Dibujar la figura afín de una circunferencia por puntos.

Visita la web

2. Dibujar un par de diámetros conjugados de la elipse afín de a la circunferencia dada.
3. Obtener los diámetros principales de la elipse afín de la circunferencia dada. También puedes ver este procedimiento paso a paso en la web de José Antonio Cuadrado.

En el texto de la editorial Donostiarra página 11 están muy bien explicados estos procedimientos añadiendo una dificultad más: Sea la afinidad definida por el eje, la dirección  y la razón K=3/4

• 8.3 Vídeo Cuadrado afín de un rectángulo. 
• 8.4 Transformar un triángulo escaleno a equilátero en Mongge
• 8.5 En Mongge: Transformar por afinidad, el paralelogramo dado en un cuadrado.
• 8.6 Rombo selectividad.

• 8.7 Más Ejercicios de Afinidad paso a paso

9. EJERCICIOS

• Ejercicios de Homología paso a paso.
• Ejercicios de homología en las láminas.es (Ver apuntes). Soluciones
• Ejercicios en Trazoide homología.
• Ejercicios de Afinidad del profesor Gonzalo Abella.
• Ejercicios de Homología del profesor Gonzalo Abella.

10. APUNTES

• Ed. Donostiarra. Transformaciones geométricas.
• Editorial Egein: Nociones de geometría proyectiva 
• Homología en Lasláminas.es
• Homología de forma resumida.

11. VÍDEOS

• El canal de Néstor Martín con vídeos muy clarificadores que te ayudarán a dibujar a mano alzada y comprender los entresijos de la homología.
• Homología explicada por medio de sombras.
• Homología plana, espacial y rectas límite.
• Determinación de una homología.
• Ejercicios de homologías en el plano y en el espacio.
• Más ejercicios de homologías.
• Homólogo de un triángulo con dos puntos en el infinito (ejercicio 2 )