Geometría: Cónicas: Introducción

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Wikipedia

Apolonio de Pérgamo (260-170 AC aprox.), fue un geómetra griego famoso por su obra sobre las secciones cónicas. Fue contemporáneo de Arquímedes.
Recomiendo que leáis el siguiente artículo en el blog "Ag-nosotros no somos catetos" sobre Apolonio, su obra en torno a las cónicas y sus famosos diez problemas.

Para el estudio de las cónicas empezaremos abriendo boca con un vídeo de la serie "La aventura del saber" que nos explica la trascendencia que tienen estas curvas en la actualidad: "Cónicas del balonces a las cometas"

A continuación, un vídeo donde vemos como se genera cada una de las curvas:

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; siempre que dicho plano no pase por el vértice.
Se clasifican en cuatro tipos:CIRCUNFERENCIA, ELIPSE, PARÁBOLA e HIPÉRBOLA.

TEOREMA DE DANDELIN

De Gustavo Bellu - Trabajo propio, CC BY-SA 3.0,

El Teorema de Dandelin demuestra que los focos de una curva cónica se encuentran en los puntos de tangencia del plano secante con dos esferas que están inscritas en la superficie cónica y son además tangentes a dicho plano.

Recomiendo ver este vídeo para entender el Teorema de Dandelin de una manera menos abstracta.

Dibujo Industrial.es

Wikipedia: La recta directriz de una sección cónica se puede encontrar utilizando la construcción de Dandelin. Cada esfera de Dandelin se interseca con el cono en un círculo, cada uno de estos círculos k1 y k2 define su propio plano (πk1 y πk2), estos planos son paralelos entre sí y perpendiculares al eje del cono. Las intersecciones de estos dos planos con el plano π definirán en general dos líneas Df1 y Df2 (rojas en la figura), paralelas entre si, perpendiculares al eje del cono y externas al cono, estas líneas son conocidas como las directrices de las secciones cónica. La parábola es un caso particular porque sólo puede tener una esfera de Dandelin, y por lo tanto tendrá una sola directriz, la circunferencia es el otro caso particular dado que el plano π de intersección con el cono es paralelo a los círculos k1 y k2 y en consecuencia no se produce intersección alguna, lo que implica que la circunferencia no tiene recta directriz.

Usando de las esferas Dandelin, se puede demostrar que cualquier sección cónica es el lugar geométrico de los puntos para los que la distancia de un punto llamado foco es proporcional a la distancia de la directriz. Los antiguos matemáticos griegos como Pappus de Alejandría ya eran conscientes de esta propiedad, pero nuevamente las esferas de Dandelin permiten facilitar mucho la prueba.