Equivalencias 1: Relaciones entre figuras

Fuente

Los problemas de equivalencias se van a resolver por medio de los conceptos explicados de media proporcional y  el teorema de Pitágoras.

1. EQUIVALENCIAS. DEFINICIÓN

Decimos que dos superficies planas son equivalentes cuando tienen distinta forma e igual área.

Es decir, cuando nos presenten un problema de equivalencias lo primero que debemos hacer es igualar las diferentes áreas, lo que significa que debemos saber las fórmulas de las áreas de las diferentes figuras:

2. RELACIONES BÁSICAS ENTRE FIGURAS

Para resolver problemas de equivalencia tenemos que conocer las siguientes relaciones entre figuras:

1. Triángulos equivalentes
2. Triángulación. Convertir cualquier polígono en un triángulo equivalente.
3. Equicomposición entre figuras. 
• Triángulo y rectángulo equivalentes.
• Rombo y rectángulo.
• Rectángulo y trapecio isósceles

2.1 TRIÁNGULOS EQUIVALENTES. CONVERTIR CUALQUIER POLÍGONO EN UN TRIÁNGULO

Veamos:

Los tres triángulos tienen la misma base y la misma altura. Dado que el área de un triángulo equivale al producto de la base por la altura, podemos asegurar que en los tres casos la superficie es la misma.

EJERCICIO DE APLICACIÓN:

1. Triángulo equivalente a otro, dado la base de dimensiones diferentes al dado.  (fuente: La nube artística).  Solución
2. Triángulo isósceles equivalente a uno dado con diferente base.
3. Rectángulo equivalente a otro con diferente base. (Solución)

2.2 TRIANGULACIÓN

Aplicando lo anterior a cualquier polígono de más de tres lados, podemos obtener un triángulo equivalente al polígono de origen. Este método se llama triangulación.

De esta forma podemos eliminar uno o más lados de cualquier polígono, hasta convertirlo si así lo deseamos en un triángulo equivalente al polígono de partida.

EJERCICIO DE APLICACIÓN: 

1. Dado un triángulo dibujar el rectángulo equivalente.
2. Dado un pentágono dibujar un triángulo equivalente.

2.3 EQUICOMPOSICIÓN

2.3.1 RECTÁNGULO EQUIVALENTE A CUALQUIER TRIÁNGULO

Un triángulo y un rectángulo con la mitad de la altura de un triángulo, tendrán siempre la misma, ya que el área de ambos será: b.a/2

Las figuras están coloreadas así para que podamos apreciar su equicomposición, es decir, las formas de las que están compuestas ambas son las mismas.

2.3.2 ROMBO Y RECTÁNGULO

Un caso muy parecido el lo que pasa con el rombo y el rectángulo:

Fuente: la nube artística

2.3.3 TRAPECIO Y RECTÁNGULO

Y también sucede en el caso de un paralelogramo rectángulo A'B'C'D' equivalente a un trapecio escaleno dado ABCD, siendo su altura la misma que la de dicho cuadrilátero. Observa cómo los triángulos AA'M y MDD' son equivalentes, como también lo son los triángulos B'BN y NC'C.

EJERCICIO DE APLICACIÓN: 

1. Dado un triángulo trazar un rectángulo equivalente.

3. CUADRADO EQUIVALENTE A UN TRIÁNGULO

En general, para obtener una forma equivalente a otra dada, utilizaremos un cuadrado equivalente como forma intermedia entre dos figuras equivalentes. Por ello, analizaremos primero la forma de obtener un cuadrado equivalente a una figura geométrica. (Extraído de Piziadas).

Para determinar el área equivalente de la de un triángulo realizaremos una construcción que nos permita obtener una media proporcional, relacionando este área con la equivalente de un cuadrado. De esta forma obtendremos el lado “l” de un cuadrado que tenga el mismo área que el triángulo dado.

Podremos utilizar cualquiera de las construcciones que utilizan formas cuadráticas, como las derivadas del concepto de potencia o los teoremas de la altura y el cateto que se obtienen a partir de la geometría del triángulo rectángulo.

Si utilizamos el teorema del cateto, la construcción será similar


Se incluye por último la construcción por potencia:

EJERCICIO DE APLICACIÓN: 

1. Dibujar el cuadrado equivalente a un cuadrilátero dado. (Construcción)
2. Dado un cuadrado dibujar el rectángulo equivalente dado un lado. Solución en la pág. 3 de este pdf (Solución por tercera proporcional).
3. Cuadrado equivalente a un rombo dado (Solución en la nube artística)

4. CUADRATURA DEL CÍRCULO

Se llama así al ejercicio de construir un cuadrado de igual área que el círculo dado.  Si tenemos en cuenta lo siguiente:

El primer término del teorema Pi-r lo extraemos de la rectificación de una semicircunferencia:

Ver vídeo

Una vez conocido Pi-r, construyendo la media proporcional obtenemos el valor lado del cuadrado que buscamos:

Puedes visualizar todo el proceso con Geogebra aquí.

4.1 RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA (Repaso de 1º )

Se puede obtener la longitud de una circunferencia por diversos métodos, aunque su representación gráfica es siempre aproximada, dado que la función " PI" (3,1416...) es infinita y, por tanto, constituye una imposibilidad para poder operar con regla y compás.

1. Método Specht
2. Método de Arquímedes
3. Método Kochansky Semicircunferencia.
4. Rectificación de un cuadrante. Arco de 90º. Método Macheroni.
5. Rectificación de una semicircunferencia por el método de los polígonos.
6. Rectificar un arco menor de 90º.
7. Rectificar un arco de más de 90º y menos de 180º. Y un ángulo mayor de 180º

5. CUADRADO DOBLE, EL TRIPLE, CUÁDRUPLE, ETC DE OTRO

El Teorema de Pitágoras (Ver en Piziadas), se aplica cuando la solución que buscamos es el doble, triple, cuadrúple, etc de un cuadrado dado:

EJERCICIOS: 

1. Dibujar el cuadrado que tenga el área doble, triple, cuádruple, etc de otro. 
2. Dibujar el cuadrado que tenga por área la suma de otros dos. 
3. Dibujar el cuadrado que tenga por área la suma de otros tres. 
4. Dados cuatro cuadrados, dibuja el cuadrado equivalente a su suma.

Estos problemas también se puede resolver utilizando el Teorema de la altura, del cateto o potencia, como hemos visto más arriba:

5.1 CIRCUNFERENCIA EL DOBLE, EL TRIPLE, CUÁDRUPLE, ETC DE OTRA

Este mismo conceptos se puede aplicar para el área de una circunferencia.

Gráficamente tenemos aquí el teorema de Pitágoras. De la misma forma los círculos inscritos en los cuadrados cumplen la misma condición que los cuadrados en el teorema: el área sumada de los dos círculos menores B C es igual al área del círculo mayor A.

O con el teorema de la altura:

EJERCICIOS:

1. Círculo que tenga igual área que otros dos dados. Y círculo el doble, triple, cuádruple, etc de otro.
2. Circunferencia equivalente a la suma de otras dos.
3. Pentágono regular que tiene por área el doble de otro.

6. CÍRCULO EQUIVALENTE A UNA ELIPSE

En este caso, igualaremos las áreas de tal manera que obtendremos la expresión de la media proporcional: Radio circunferencia= semiejemenor x semieje mayor. 

Construímos la media proporcional por cualquiera de los tres procedimientos explicados.

• Por teorema de la altura en Mongge. En Euskera
• Por potencia en Youtube

7. CUADRADO EQUIVALENTE A UN POLÓGONO REGULAR (Sin aplicar triangulación)

El área de cualquier polígono regular es:

Este método particular nos permite dibujar, de manera directa, un cuadrado equivalente a cualquier polígono regular, por lo que no es necesario convertir previamente dicho polígono en un paralelogramo rectángulo.
Como la superficie de cualquier polígono regular se calcula multiplicando su apotema por el semiperímetro, la media proporcional de ambos segmentos será el lado del cuadrado equivalente.

En este caso se ha resulto por el teorema del cateto

APUNTES:

• Apuntes sobre equivalencias del IES FRancisco de Goya
• Descarga e imprime:
• Resumen de relaciones geométricas de la página laslaminas.es.
• Resumen sobre equivalencia de la misma página.
• Excelente presentación sobre equivalencia.
• Excelente explicación interactiva de todo el tema en "La nube artística".

EJERCICIOS 

• Ejercicios para descargar e imprimir.
• 6 ejercicios de equivalencias

INFORMACIÓN DE INTERÉS:

• En Piziadas: Figuras equivalentes cuadrado equivalente.
• Equivalencias en Geogebra. Por Esther Alonso
• Ejercicios de equivalencias en Trapezoide.
• Una curiosidad: Historia de la cuadratura del círculo.

Proporcionalidad I. Operaciones con segmentos

PROPORCIONALIDAD

Es la relación que existe entre 2 figuras de igual forma y distinto tamaño.

Razón (K)

Dados 2 segmentos a y b, la razón es la relación entre las longitudes de ambos segmentos.
Dados 4 segmentos (a, b, c y d) tomados dos a dos, se dice que son proporcionales si las razones son iguales (Fig.1). a/b=c/d. Se denominan medios: b y c. Son extremos: a y d.

Proporcionalidad directa: 

Dos magnitudes son directamente proporcionales si varían de tal forma que su razón permanece constante. a/b=a’/b’=a”/b”=… = K.

Proporcionalidad inversa: 

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si varían de tal forma que su producto permanece constante. a·b=a’·b’=a”·b”=… = K

TEOREMA DE TALES

Descubre algo de este interesante personaje aquí.

Si un haz de rectas paralelas cortan a 2 rectas concurrentes (Fig.2), los segmentos resultantes sobre la recta r son proporcionales a los determinados sobre la recta s. Son directamente proporcionales. AB/A’B’=BC/B’C’. También se cumple: AB/BC=A’B’/B’C’

Veamos un ejemplo claro de el Teorema de Tales  en uno618, gracias al programa Geogebra.

APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES

División de un segmento en partes iguales

A partir de un extremo de un segmento, se traza una semirrecta sobre la que se marcan tantas divisiones iguales como partes en las que se quiera dividir el segmento. Unimos el último punto con el extremo del segmento y se trazan paralelas a esta recta por las divisiones obtenidas quedando así el segmento dividido en partes iguales.

División de un segmento en partes proporcionales

Se procede del mismo modo pero ahora las divisiones no son iguales. Las divisiones así obtenidas en el segmento mantendrán la misma proporción entre ellas que las dibujadas en la semirrecta trazada.

Cuarto proporcional a tres segmentos

Dados tres segmentos a, b y c, se denomina cuarta proporcional al segmento x, si éste cumple que: a/b=c/x.

APLICACIÓN: Producto de dos segmentos

Fuente: wiki "Rincon de Artes y Dibujo"

Tomamos un segmento como unidad, por ejemplo el c.

Basándonos en la cuarta proporcional:

• a . b = x
• a . b = x . c siendo c = 1
• a/c = x/b c/a = b/x

APLICACIÓN: División entre dos segmentos

Fuente: wiki "Rincon de Artes y Dibujo"

Basándonos en la 4ª proporcional y a partir de dos segmentos dados, a y b, tomamos un segmento como unidad, por ejemplo el c.

a/b = x
a/b = x/c siendo c = 1
Luego b/a = c/x

Tercera proporcional a dos segmentos dados

Dados dos segmentos a, y b, se denomina tercera proporcional al segmento x, si éste cumple que:

a/b=b/x

APLICACIÓN: CUADRADO DE UN SEGMENTO

Fuente: wiki "Rincon de Artes y Dibujo"

Nos basamos en la 3º proporcional y además tomamos un segmento c como unidad.

a . a = x
a . a = x . c siendo c = 1
Luego a/c = x/a ó           c/a = a/x

EN RESUMEN: 

Presentación del todo el tema:

Proporcionalidad de epvmanantiales

EJERCICIOS- PROBLEMA

1. Ejercicios de tercera y cuarta proporcional.
2. Cuadernillo de ejercicios por Anabel Sanchez. Soluciones 1 y soluciones 2.

APUNTES

• Apuntes de Anabel Sanchez
• Demostraciones visuales con Geogebra en la web uno618.
• Extraídos de ÁREA DE DIBUJO. ES (Andalucía):
  
  • Operaciones con segmentos 1:
  • Suma, resta, división en partes iguales y división en partes proporcionales.

Entradas de Interés:

• wiki "Rincon de Artes y Dibujo"
• Introducción a la Geometría métrica y sus unidades didácticas. Web PIZIADAS.
• Geometría métrica y teorema de Pitágoras en la web PIZIDAS. Una visión muy interesante de todo lo que hemos visto en esta entrada desde un ángulo diferente, empezando con Pitágoras.
• En la misma página Teoremas de la altura y el cateto.
• Teorema de la altura y teorema del cateto Geogebra.

Proporcionalidad II. Teoremas de la hipotenusa y Teorema del Cateto

MEDIA PROPORCIONAL

Dados dos segmentos a y b, la media proporcional es otro segmento x que cumple la proporción a/x=x/b.
También lo podemos expresar:

Podemos obtener la media proporcional de dos segmentos utilizando dos teoremas y la definición de potencia de un punto: 

1. Teorema de la altura 
2. Teorema del cateto
3. Potencia de un punto

1. Teorema de la altura

En todo triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la hipotenusa.

c´/h=h/b´

Veamos su demostración matemática:

Aquí puedes ver una demostración gráfica con Geogebra

Trazado

EJERCICIOS DE APLICACIÓN:

1. Hallar el segmento x media proporcional, entre dos segmentos a , b dados.
2. Hallar dos segmentos x e y conocida su suma s y su media proporcional m
3. Hallar dos segmentos conocido su producto y su suma.
4. Trazar la raíz cuadradada de un segmento.

2. Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección ortogonal de dicho cateto sobre ella.

Veamos su demostración matemática:

En este caso es aún más sencillo demostrar la semejanza entre triángulos, ya que ABC y ADC,comparten un lado y un ángulo, y son además rectángulos (es decir, otro de sus ángulos es de 90º) con lo que el tercer ángulo tendrá el mismo valor. Ambos triángulos tienen pues los lados proporcionales, es decir: AB/AC=AC/AD, es decir, AC equivale a la raíz cuadrada del producto AD y AB.

Puedes ver la demostración gráfica en la página dibufirst.

Trazado

3. Media proporcional por potencia de un punto con respecto a una circunferencia.

La potencia de un punto respecto a una circunferencia es igual al cuadrado de la tangente trazada desde el punto a la circunferencia.

Esta construcción se verá en un capítulo siguiente

• Demostraciones visuales con Geogebra de media proporcional en la web uno618.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Hallar el segmento x media proporcional, entre dos segmentos a , b dados. (Realizar la construcción por ambos teoremas y por potencia)

2. Hallar gráficamente la raíz cuadrada de un segmento

4. Hallar el segmento x media proporcional, entre dos segmentos a , b dados.

5. Realiza el test de autoevaluación en Piziadas.

EN RESUMEN: Presentación del Tema

Proporcionalidad de epvmanantiales

EJERCICIOS - PROBLEMA

1. Test de autoevaluación en Piziadas (Ir al final de la página)
2. Geometría del triángulo rectágulo en Piziadas
3. Ejercicios de media proporcional.
4. Hallar gráficamente la raíz cuadrada de un segmento.
5. Hallar dos segmentos dadas sus suma y su diferencia.
6. Cuadernillo de ejercicios por Anabel Sanchez. Soluciones 1 y soluciones 2.
7. Hallar dos segmentos conociendo su suma y su producto .
8. Determinar el segmento AB que pasa por P, conocido, cuyos extremos se sitúan sobre las rectas a y b respectivamente cumpliendose la relación PA=2PB.

Otros problemas de operaciones con segmentos

1. Dados dos puntos A y B y una recta r que los separa, encontrar en ésta el punto P tal que la diferencia PA-PB sea máxima. Solución. 
2. Dados dos puntos A y B y una recta r tal que los dos puntos están en el mismo semiplano, encontrar en ésta el punto P tal que la suma PA+PB sea mínima. Solución.
3. Problemas con bolas de billar en uno618. Soluciones en Piziadas. 
1. Rebote a una banda. Explicación en Geogebra una banda (Extraído de Geometría dinámica)
2. Rebote a dos bandas.
3. Rebote a tres bandas. Reflexión y trayectorias
4. Determinar dos segmentos conociendo su diferencia y su producto. (última página).
5.  Dados dos puntos A y B, trazar por ellos dos rectas paralelas que disten la magnitud dada. (Fuente)

APUNTES

• Apuntes de Anabel Sanchez
• Demostraciones visuales con Geogebra en la web uno618.
• Extraídos de ÁREA DE DIBUJO. ES (Andalucía):
  • Operaciones con segmentos 2:
  • Segmentos irracionales: hallar la representación gráfica de raíz cuadrado de 2, 3, 4, 5, 6, 7, etc
  • Multiplicación de segmentos
  • División de segmentos
  • Halla dos segmentos conocidas su suma y su diferencia.

Entradas de Interés:

• wiki "Rincon de Artes y Dibujo"
• Introducción a la Geometría métrica y sus unidades didácticas. Web PIZIADAS.
• Geometría métrica y teorema de Pitágoras en la web PIZIDAS. Una visión muy interesante de todo lo que hemos visto en esta entrada desde un ángulo diferente, empezando con Pitágoras.
• En la misma página Teoremas de la altura y el cateto.
• Teorema de la altura y teorema del cateto Geogebra.

Normalización. Repaso de conceptos

Introducción

Para refrescar la memoria y completar tus apuntes de cara al examen de selectividad, te dejo a continuación unos apuntes que puedes imprimir sobre la normativa actual referente a los temas estudiados el curso pasado: Líneas normalizadas, rotulación, escalas, formatos y plegados de planos.
También puede ver los siguientes vídeos del profesor Hernani en la entrada sobre conceptos básico.

Bocetos y Croquización

La realización de bocetos y croquis, es decir dibujos sin reglas ni compás, son herramientas imprescindible para el aprendizaje del dibujo técnico. Hay que practicar mucho para alcanzar la destreza necesaria y perder el miedo a no dar la talla dibujando. Para ello, al principio, nos podemos servir de plantillas cuadriculadas e isométricas que, colocadas debajo del papel blanco, nos faciliten los trazados.

Te dejo un enlace con tres falsillas para imprimir: una cuadriculada, milimetrada y otra isométrica.

ENLACES DE INTERÉS:

Apuntes:

• Descarga e imprime los apuntes extraídos de las página laslamina.es:
• Introducción a la representación normalizada.
• Rotulación y líneas normalizadas.
• Ejercicios PAU sobre normalización. 
• los temas estudiados el curso pasado: Líneas normalizadas, rotulación, escalas, formatos y plegados de planos.
• Información sobre márgenes, cuadro de rotulación y formatos normalizados.
• Información online general más extensa y detallada.

Ejercicios:

• Vistas online. Realiza los dibujos a mano alzada de las siguientes piezas (Contiene solución).
• Para practicar cortes, secciones, roturas y acotación visita la página del profesor José Antonio Cuadrado.

Para saber más:

• AENOR
• Para completar información sobre normas, os dejo dos textos uno de aplicación en el dibujo industrial y mecánico y otro en arquitectura.
• Acotación. Educación plástica. es
• Tipos de Planos. En la web del profesor Ramón del Águila. 
• La realidad aumentada. 

Materiales para dibujo y otros conceptos básicos

Los alumnos de 2º de bachillerato deben ya dominar el conocimiento, el uso y el cuidado de los materiales básicos para dibujar. 

En el Dibujo Técnico, entre otros valores que debemos aprender, se encuentra, la buena presentación de los trabajos, la limpieza, el correcto trazado de líneas, nombrar elementos y, sobre todo, la precisión en los trazados. (Ver recomendaciones para 3º ESO. Esto se consigue con mucha práctica y también con buenos materiales. 

En los vídeos que publico a continuación el profesor Juan Hernani nos muestra algunas herramientas que puede ser muy útiles y su aplicación practica.  De paso, refrescamos la memoria y practicamos a través de su canal, cómo dibujar rotulación normalizada, cómo hacer un casillero normalizado y muchas más cosas que no debemos olvidar. Aquí os dejo sus propuestas:

EN RESUMEN:

• Escuadra y cartabón de buena calidad. (Ver presentación para la ESO)
• Compás o bigotera, esta última es más precisa por el tornillo central.
• Regla milimetrada de 30 cm.
• Goma.
• Trapo.
• OPCIONAL: Madera tamaño DIN A3 o mayor  y Regla en forma de T.

Se aconseja la realización de la práctica propuesta en el vídeo y en los sucesivos vídeos. El dibujo, ademas de la comprensión de los conceptos teórico y su aplicación en los dibujos, es una disciplina que requiere de mucha práctica. Requiere de un desarrollo de destrezas manuales finas que solo se consigue con muchas horas dibujando.

ROTULACIÓN NORMALIZADA

EN RESUMEN:

Estos conceptos hay que saberlos y aplicarlos día a día en nuestros dibujos, aunque de un boceto o croquis se trate. Por razones de tiempo, en 2º de bachillerato, no elaboraremos muchas láminas con recuadro, cajetín, pero eso no es razón para no saber hacerlo, incluida una buena rotulación.
También hay que tener en cuenta que en cualquier dibujo utilizaremos letras para designar los elementos, como puntos, líneas y planos. Estas letras, aún realizadas con agilidad, deben de dibujarse como hemos aprendido en el vídeo.
Además de recomendar la actividad que nos propone el profesor Juan Hernani, os incluyo una lámina extraída de la web www.laslaminas.es que te servirá para practicar rotulación y diferentes tipos de líneas.

TRAZADOS DE ÁNGULOS CON ESCUADRA Y CARTABÓN Y PRÁCTICA DE PARALELAS

EN RESUMEN:

En este vídeo se hace un repaso de dibujo de ángulos con escuadra y cartabón. Son procedimientos básicos que se practican desde 1º de la ESO y que conviene dominarlos para los aprendizajes de este curso. De nuevo te animo a que completes la lámina como nos propone el profesor y de paso comprueba la agilidad que tienes en el trazado de paralelas y perpendiculares.

En cualquier caso toma nota de la siguiente aplicación on line del IES Santa Eulalia Departamento de TecnologíaTRAZADOS DE ÁNGULOS CON ESCUADRA Y CARTABÓN que te puede venir bien para recordar el trazado de ángulos.

TRAZADOS DE ÁNGULOS CON COMPÁS

REPASO DE CONCEPTOS BÁSICOS Y PRACTICA CON CIRCUNFERENCIAS

Este vídeo que nos propone el profesor Hernani repasa conceptos básicos geométricos que utilizaremos a diario en nuestras clases: punto, línea, plano, volumen, líneas paralelas, líneas perpendiculares, diámetro, radio, tangente, cuadrante, ángulo y bisectriz.

Además aprenderás mucho acerca del uso del compás y el buen trazado de circunferencias.

EN RESUMEN:

• Se da por aclarado y repasado los conceptos: punto, línea, plano, volumen, líneas paralelas, líneas perpendiculares, diámetro, radio, tangente, cuadrante, ángulo y bisectriz.
• Tendremos en cuenta siempre la importancia de tener unos materiales en buen uso, teniendo en cuenta que el aspecto, la limpieza y la precisión de los ejercicios dependen de ellos.

DISTINTOS TIPOS DE LÍNEAS

También es importante recordar los diferentes tipos de líneas que se utilizan tanto en croquis como en dibujos con regla. 

Te dejo dos vídeos donde la profesora explica con ejemplos los diferentes tipos de líneas.

EN RESUMEN:

Conocer los diferentes tipos de líneas, sus aplicaciones y ponerlas en practica en todos nuestro dibujos es fundamental para la presentación de nuestras láminas y, sobre todo para la buena comprensión de los problemas.
Cuando dibujamos a lápiz, no tenemos en cuenta el grosor de las líneas. Todas ellas se dibujan finas. Diferenciaremos, entonces, por medio de la intensidad: más fuerte o más suave.
RECUERDA:

Los lápices de mina dura vienen definidos por la letra H. Se usan en dibujo técnico. Los lápices de mina blanda, con la letra B. Se usan para el dibujo artístico. 

Esto tiene mucho que ver con la elección adecuada del lápiz a utilizar. Lo recomendable es tener un lápiz duro para la realización de la mayoría de todos los trazados (3H o más dependiendo de la marca), (líneas auxiliares y demás) y un lápiz HB para dar mayor intensidad a las líneas que lo requieran (líneas solución, líneas de contorno, etc.). También es muy saludable dominar el lápiz estándar, un HB o nº 2 apretando más o menos según necesidades.