viernes, 6 de enero de 2017

Homología y Afinidad

Grabado en perspectiva de Alberto Durero

Refresca los contenidos propuestos para este curso según BOE

Nos enfrentaremos a estos contenidos por medio de la excelente página de José Antonio Cuadrado "Homologías".


1. Homología. Definición y elementos.

La homología es una transformación anamórfica (no es isomórfica ni isométrica), pues no mantiene la forma ni el tamaño de las figuras. Transforma los puntos del plano: A, B, C, ... en puntos del plano A', B' C', ... de modo que: dos puntos homólogos A y A' están alineados con un punto fijo O que es el centro de la homología; dos rectas homólogas r y r' se cortan en una recta doble llamada eje de la homología.

1.1 Elementos dobles en la homología

Si observamos la figura anterior podremos encontrar puntos dobles, es decir homólogos de sí mismos, como el centro O y los que pertenecen al eje.
En consecuencia:

  • Si una recta corta al eje, su homológica también lo cortará en el mismo punto.
  • Si una figura es tangente al eje, su homológica también lo será en el mismo punto.
  • Si una figura no tiene puntos comunes con el eje, su homológica tampoco.
  • Si una figura pasa por el centro, su homológica también pasará por él. Si estas figuras son curvas, serán tangentes en el citado centro.
En la homología hay rectas dobles: el eje que es doble punto a punto, y todas las rectas que pasan por O, aunque solo tengan dos puntos dobles, el propio punto O y los puntos que interceptan el eje.

2. Rectas límite. 

Veamos el vídeo realizado por Nestor Martín que me parece muy clarificador en cuanto a las rectas límite. También, observa la importancia que tiene practicar el dibujo a mano alzada para la comprensión del dibujo:




En perspectiva cónica a la recta límite l se llama línea del horizonte como bien nos ha explicado el profesor Néstor Martín en su vídeo.

  • Veamos también la explicación que nos ofrece PDD sobre las Rectas límite.

    • El lugar geométricos de las rectas límite. Realiza los siguientes ejercicios:
    • Posición relativa de las rectas límite.
    • Propiedades de las rectas límite.

2.1 EJERCICIOS

2.1.1. Calcular el homólogo de un punto dado el eje, centro y recta límite L.
2.1.2. Calcular el homólogo de un punto dado el eje, centro y recta límite L'.
2.1.3. Calcular el homólogo de una recta dado el eje, centro y recta límite L.
2.1.4. Calcular el homólogo de una recta dado el eje, centro y recta límite L.

3. DEL ESPACIO AL PLANO

La siguiente presentación nos puede ayudar a comprender el proceso de pasar de una homografía en el espacio a una homología en el plano.


    4. DETERMINACIÓN DE UNA HOMOLOGÍA

    Para definir una homología son necesarios tres datos entre el eje, el centro, una pareja de rectas, la dirección del eje, un par de puntos homólogos, rectas límite, etc. De entre todos los casos posibles veamos como se resuelven los siguientes casos expuestos en la web de Jose Antonio Cuadrado hasta su completa resolución. 
    1. El centro, el eje y un par de puntos homólogos.
    2. El centro, el eje y una recta límite.
    3. El centro y dos rectas límites.
    4. El eje, una recta límite y un par de puntos homólogos.
    5. La dirección del eje y dos parejas de puntos homólogos.

    5. CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS HOMÓLOGAS

    6. TRANSFORMACIÓN DE FIGURAS

    En este apartado veremos qué modificaciones son necesarias realizar en los elementos de una homología para conseguir transformar formas en otras determinadas.

    7. CASOS PARTICULARES DE HOMOLOGÍA

    Si en una homología el eje, el centro o ambos a la vez se presentan como puntos impropios o están en el infinito, estos casos de transformaciones se consideran como casos límites de homología.

    Veamos la síntesis que nos muestra Luis Pérez en su web: Homotecia y afinidad

    7.1 Eje impropio: HOMOTECIA

    Este caso particular de homología se produce cuando el eje es impropio, es decir los planos que cortan el haz proyectivo son paralelos y, por tanto, los puntos donde deben cortar las parejas de rectas homológicas son impropios y por tanto paralelas. 


    Gráfico interactivo por
    Antonio L. Blanco Ventosa

    Esta condición convierte a la homología en una homotecia de centro CH y razón:

    CHJ/CHJ'=CHI/CHI'= constante

    Si además, el valor de la razón es -1 tendremos una simetría central o un giro de 180º.

    7.2 Centro impropio: AFINIDAD

    La afinidad se produce cuando el centro de homología es impropio y, por tanto, los rayos de homología son paralelos.
    Este caso particular se denomina homología afín o afinidad.
    Visita la web de Jose Antonio Cuadrado
    Estudiaremos con más profundidad este caso particular a continuación por su importancia en el estudio de los sistemas de representación basados en la proyección cilíndrica que se verán más adelante.

    7.3 Centro impropio y eje impropio: TRASLACIÓN





    En este caso, los rayos de homología son paralelos y la pareja de rectas homológicas también lo son.










    8. AFINIDAD 

    Veamos la síntesis que nos muestra Luis Pérez en su web: Homotecia y afinidad.
    Para el estudio de esta parte nos dirigiremos a la web "Dibujo Industrial y Civil" y después os propongo resolver los siguientes ejercicios:

    • 8.2 Afinidad de una circunferencia. 
    La figura afín de una circunferencia siempre es una elipse. Vamos a ver tres formas distintas de resolver este problema:

    1. Dibujar la figura afín de una circunferencia por puntos.
    Visita la web

    2. Dibujar un par de diámetros conjugados de la elipse afín de a la circunferencia dada.
    3. Obtener los diámetros principales de la elipse afín de la circunferencia dada. También puedes ver este procedimiento paso a paso en la web de José Antonio Cuadrado.

    En el texto de la editorial Donostiarra página 11 están muy bien explicados estos procedimientos añadiendo una dificultad más: Sea la afinidad definida por el eje, la dirección  y la razón K=3/4

    9. EJERCICIOS

    10. APUNTES

    11. VÍDEOS

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      jueves, 5 de enero de 2017

      Cónicas III: Parábola

      De MichaelMaggs Edit by Richard Bartz - Trabajo propio, CC BY-SA 3.0,

      1. LA PARÁBOLA: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES

      Puedes seguir estudiando todos estos conceptos desde la estupenda página elaborada por José Antonio Cuadrado: Curvas Cónicas.

      1.1. Definición: 



      Geogebra



      La parábola es una curva plana, abierta y de una sola rama.  
      Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco, y de una recta fija d, llamada directriz. 


      Tiene un vértice A y un eje de simetría que pasa por A y por el foco y es perpendicular a la directriz. La tangente en el vértice a la curva es paralela a la directriz.

      1.2. Elementos y propiedades más importantes:


      • El vértice, como otro punto cualquiera, equidista de la directriz y del foco, es decir DA = AF.
      • Los radios vectores del punto P son CP y PF.
      • Se llama parámetro 2p de la parábola, al igual que en la elipse y la hipérbola, a la longitud de la cuerda que es perpendicular al eje del foco.
      • La directriz de la curva hace de circunferencia focal de la parábola, en este caso de radio infinito. Según esto, la directriz es el lugar geométrico de los puntos del plano simétricos al foco respecto de una tangente.
      • La tangente en el vértice, aunque es una recta hace de circunferencia principal y se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por el foco a cada una de las tangentes. Visita la página de Jose Antonio Cuadrado para comprobar esta definición
      • El foco equidista del punto de tangencia de una tengente y del punto donde esta corta al eje de la curva.

      2. CONSTRUCCIÓN

      2.1. Parábola por puntos.

      J.A. Cuadrado

      Pincha para ver vídeo paso a paso

      2.2 Parábola por haces proyectivos.

      Ver vídeo

      EJERCICIO: selectividad en Asturias 2014


      2.3. Parábola por envolventes.

      3. RECTAS TANGENTES A LA PARÁBOLA

      3.1. Tangente por un punto P de la Parábola.









      La tangente a la parábola en el punto P es la recta t, bisectriz de los radios vectores de ese punto. 

      La normal a la curva en el punto P es la recta n, perpendicular a la tangente.

      3.2 DIRECTRIZ DE LA PARÁBOLA



      Si se representa una tangente cualquiera a la curva, se comprueba que el simétrico de F respecto de la tangente es el F', situado sobre la perpendicular a la directriz desde el punto de tangencia T. 


      Lo que permite enunciar que:

      El lugar geométrico que ocupan los simétricos del foco respecto de las tangentes a la parábola es la directriz.






      3.3 Tangente a la parábola por un punto exterior.

      Geogebra

      Siendo P el punto exterior dado, los simétricos de F' y F'' respecto a las tangentes buscadas, deben estar en la directriz de la parábola y, además, equidistar de P. Por tanto se encuentran trazando la circunferencia de centro en P y radio PF.

      Como las tangentes pedidas deben de ser mediatrices de los segmentos F F' y FF'', y por supuesto, pasaran por el punto P.

      Los puntos de tangencia se encontrarán sobre las rectas perpendiculares a la directriz que pasan por F' y F''.

      Recomiendo ver los gráficos interactivos en uno618.

      3.4 Tangentes a una parábola paralelas a una dirección dada


      Sea d la dirección dada.
      Por ser la tangente que se buscan paralelas a esa dirección, la perpendicular a ellas desde un foco F, lo será también a la dirección dada.

      Trazada por F la perpendicular a la d, quedaran determinados sobre la directriz F' simétrico del foco F respecto de las tangentes buscadas.

      La mediatriz t del segmento FF', paralela a la dirección, es la tangente pedida.

      El punto de tangencia se encuentra sobre t, en las rectas perpendicular a la directriz que pasan por F'.

      Ver gráfico de uno618


      EJERCICIO: Realizar los siguientes ejercicios explicados en este vídeo por Esther Alonso

      Otro:

      4. TANGENTE EN EL VÉRTICE DE LA PARÁBOLA

      Si la dirección dada es la de la directriz, la tangente pasa por el punto medio A. Esto es la tangente en el vértice de la curva.

      Si trazamos otra tangente por un punto cualquiera de la curva, se observa que el triángulo FDC, el punto A es el punto medio de FD y M lo es de FC y por tanto AM es paralela media, siendo M el pie de la perpendicular del foco a la tangente, t.
      Por tanto:

      La tangente en el vértice de la parábola es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde el foco a las tangentes.

      Ver uno618

      4.1 Tangentes a la parábola desde un punto exterior utilizando la circunferencia principal.


      Según lo dicho para la circunferencia principal, el pie de la perpendicular, M, (M'), deben de estar sobre la circunferencia principal, trazando la circunferencia de diámetro PF, lugar geométrico de los vértices de los ángulos rectos cuyos lados pasan por P y F2 (arco capaz), quedará determinada la tangente, t y t' buscadas.

      Situando el simétrico de F2, F2' y F2'' respecto de la tangente y uniendo estos puntos con F1 se obtendrán los puntos de tangencia T y T' buscados.

      4.2 Tangentes a la parábola paralelas a una dirección dada utilizando la circunferencia principal.




      La perpendicular a la dirección dada, lo será también a las tangentes pedidas. De esta forma quedarán determinados los puntos M y M' una vez trazada la circunferencia principal.Los puntos de tangencia se encuentran donde se une el foco con los simétricos del otro foco.


      Ver uno618

      6. PUNTOS DE INTERSECCIÓN RECTA 

      La parábola es el lugar geométrico de los puntos que son centros de circunferencias tangentes que, pasando por un foco son tangentes a la directriz.

      Descubre este lugar geométrico en la definición de parábola que nos ofrece José Antonio Cuadrado.

      Es igual que en los casos anteriores, con la salvedad de que ahora la circunferencia focal es una recta, la directriz.

      EJERCICIOS

      APUNTES

      CURIOSIDADES

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      lunes, 2 de enero de 2017

      Cónicas: Introducción

       Pincha para ver los contenidos y estándares de aprendizaje establecidos por la LOMCE
      Wikipedia

      Apolonio de Pérgamo (260-170 AC aprox.), fue un geómetra griego famoso por su obra sobre las secciones cónicas. Fue contemporáneo de Arquímedes.
      Recomiendo que leáis el siguiente artículo en el blog "Ag-nosotros no somos catetos" sobre Apolonio, su obra en torno a las cónicas y sus famosos diez problemas.


      Para el estudio de las cónicas empezaremos abriendo boca con un vídeo de la serie "La aventura del saber" que nos explica la trascendencia que tienen estas curvas en la actualidad: "Cónicas del balonces a las cometas"
      A continuación, un vídeo donde vemos como se genera cada una de las curvas:



      Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; siempre que dicho plano no pase por el vértice.
      Se clasifican en cuatro tipos:CIRCUNFERENCIA, ELIPSE, PARÁBOLA e HIPÉRBOLA.

      TEOREMA DE DANDELIN

      De Gustavo Bellu - Trabajo propio, CC BY-SA 3.0, 



      El Teorema de Dandelin demuestra que los focos de una curva cónica se encuentran en los puntos de tangencia del plano secante con dos esferas que están inscritas en la superficie cónica y son además tangentes a dicho plano.

      Recomiendo ver este vídeo para entender el Teorema de Dandelin de una manera menos abstracta.














      Dibujo Industrial.es
      Wikipedia: La recta directriz de una sección cónica se puede encontrar utilizando la construcción de Dandelin. Cada esfera de Dandelin se interseca con el cono en un círculo, cada uno de estos círculos k1 y k2 define su propio plano (πk1 y πk2), estos planos son paralelos entre sí y perpendiculares al eje del cono. Las intersecciones de estos dos planos con el plano π definirán en general dos líneas Df1 y Df2 (rojas en la figura), paralelas entre si, perpendiculares al eje del cono y externas al cono, estas líneas son conocidas como las directrices de las secciones cónica. La parábola es un caso particular porque sólo puede tener una esfera de Dandelin, y por lo tanto tendrá una sola directriz, la circunferencia es el otro caso particular dado que el plano π de intersección con el cono es paralelo a los círculos k1 y k2 y en consecuencia no se produce intersección alguna, lo que implica que la circunferencia no tiene recta directriz.

      Usando de las esferas Dandelin, se puede demostrar que cualquier sección cónica es el lugar geométrico de los puntos para los que la distancia de un punto llamado foco es proporcional a la distancia de la directriz. Los antiguos matemáticos griegos como Pappus de Alejandría ya eran conscientes de esta propiedad, pero nuevamente las esferas de Dandelin permiten facilitar mucho la prueba.
      Fuente

      Fuente y Secciones cónicas
      Ver gráfico interactivo en uno618

      ENLACES DE INTERÉS


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      Cónicas II: La Hipérbola

      Bala disparada por una pistola, que viaja con una velocidad 1.5 veces la del sonido.


      1. LA HIPÉRBOLA: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES

      Puedes seguir estudiando todos estos conceptos desde la estupenda página elaborada por José Antonio Cuadrado: Curvas Cónicas.

      1.1. Definición: 

      La hipérbola es una curva plana y abierta, que se define como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos es constante e igual a 2a, siendo AB=2a la longitud del eje real. Los puntos fijos F y F´ son los focos.
      Ver en Geogebra



      1.2. Elementos y propiedades más importantes:


      • Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la curva.
      • El eje AB se llama eje real y se representa por 2a (AB).
      • El eje menor CD se representa 2b y se llama imaginario por que no tiene puntos comunes con la curva.
      • Los focos están en el eje real.
      • La distancia focal F F´ se representa por 2c.
      • Entre a, b y c existe la relación: c2=a2+b2
      • Es simétrica respecto a los dos ejes y por tanto respecto al centro O.
      • Las rectas que unen un punto P de la curva con los dos focos se llaman radios vectores. Por la definición se verifica que: r - r´= 2a
      • La circunferencia principal de la hipérbola es la que tiene por centro O y radio a. Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentes.
      Visita la página de Jose Antonio Cuadrado para comprobar esta definición

      • Las circunferencias focales tienen por centros los focos y radio 2a (AB).
      • La hipérbola se define también como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal del otros foco.
      Visita la página de Jose Antonio Cuadrado para comprobar esta definición

      • Las asíntotas de la hipérbola son las tangentes a la curva en el infinito. Son simétricas respecto de los ejes y pasan por el centro de la curva.

      2. CONSTRUCCIÓN

      2.1. Hipérbola por puntos dados los ejes.

      Pincha par ver vídeo paso a paso

      2.2 Hipérbola por haces proyectivos.

      Ver vídeo Hipérbola por haces proyectivos
      EJERCICIO: selectividad en Murcia 2014


      2.3. Hipérbola por envolventes.

      2.4 HIPÉRBOLA DADAS LAS ASÍNTOTAS Y UN PUNTO DE LA CURVA.

      Comprueba la propiedad en Geogebra







      Este problema se resuelve analizando la relación que existe entre las asíntotas y un punto cualquiera de la hipérbola.

      De esta manera dado un punto cualquiera podremos trazar rectas que corten a las asíntotas e igualar las distancias para obtener los puntos necesarios para dibujar una rama. La otra rama se obtiene por simetría.

      3. RECTAS TANGENTES A LA HIPÉRBOLA

      3.1. Tangente por un punto P de la hipérbola

      Ver en Geogebra






      La tangente a la hipérbola en el punto P es la recta t, bisectriz de los radios vectores de ese punto. 
      La normal a la curva en el punto P es la recta n, perpendicular a la tangente.

      3.2 CIRCUNFERENCIAS FOCALES

      ver en Geogebra




      Si se representa una tangente cualquiera a la curva, se comprueba que el simétrico de F2 respecto de la tangente es el F2', situado sobre el otro radio vector. 

      Atendiendo q que t es la bisectriz del ángulo que se forma en T, se observa que TF2 = TF2', con lo que F1F2' = k = AB. 

      Lo que permite enunciar que:

      El lugar geométrico que ocupan los simétricos de un foco, F1 o F2 respecto de las tangentes, a su rama correspondiente, es una circunferencia con centro en el otro foco y radio igual al eje real AB.


      Los dos lugares geométricos que se pueden obtener se denominan circunferencias focales.

      3.3 Tangente a la hipérbola por un punto exterior.

      geogebra


      Siendo P el punto exterior dado, los simétricos de F2 respecto a las tangentes buscadas, deben estar en la circunferencia focal de centro F1 y, además equidistar de P. Por tanto se encuentran trazando la circunferencia de centro en P y radio PF2.

      Como las tangentes pedidas deben de ser mediatrices de los segmentos F2 F2' y F2F2'', y por supuesto, pasaran por el punto P.
      Los puntos de tangencia se encontrarán sobre las rectas que unen F1 con F2' y con F2''.

      Recomiendo ver el vídeo muy bien explicado por Ester Alonso y los gráficos interactivos en uno618.

      3.4 Tangentes a una hipérbola paralelas a una dirección dada



      Sea d la dirección dada.
      Por ser las tangentes que se buscan paralelas a esa dirección, la perpendicular a ellas desde un foco F, lo será también a la dirección dada.

      Trazada por F la perpendicular a la d, quedaran determinados sobre la circunferencia focal de F', los puntos F1 y F2, simétricos al foco F respecto de las tangentes buscadas.

      Las mediatrices t1 y t2 de los segmentos FF1 y FF2, paralelas a la dirección, son las tangentes pedidas.

      Los puntos de tangencia se encuentra sobre t1 y t2, en las rectas que pasan por F' y por cada uno de los respectivos simétricos.

      Ver gráfico de uno618
      Ver vídeo. Otro realizado con geogebra

      EJERCICIOS

      Cualquier problema planteado en la elipse en este capítulo se podría formular de igual forma para la hipérbola. Os dejo, a continuación, algunos problemas resueltos:

      4. CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL



      Trazada una tangente en un punto de la hipérbola, se observa que en el triángulo F1F2'F2, M es punto medio del lado F2'F2. También O lo es del F1F2, en consecuencia, OM' será paralela media de dicho triángulo y su longitud igual 1/2 de F1F2' y siendo

      F1F2'' = K =AB; OM = 1/2 AB

      Se llega a la conclusión:

      OM = 1/2 K = 1/2 AB = OA

      Además F2M es perpendicular a la tangente, t, podrá enunciarse que:

      Los pies de la perpendiculares trazadas a las tangentes desde los focos, están situados sobre una circunferencia de centro O y radio igual al semieje real.

      Dicha circunferencia se denomina principal y es, por tanto el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes de la hipérbola.

      Ver uno618

      4.1 Tangentes a la hipérbola desde un punto exterior utilizando la circunferencia principal.

      Según lo dicho para la circunferencia principal, el pie de la perpendicular, M, (M'), deben de estar sobre la circunferencia principal, trazando la circunferencia de diámetro PF, lugar geométrico de los vértices de los ángulos rectos cuyos lados pasan por P y F2 (arco capaz), quedará determinada la tangente, t y t' buscadas.

      Situando el simétrico de F2, F2' y F2'' respecto de la tangente y uniendo estos puntos con F1 se obtendrán los puntos de tangencia T y T' buscados.

      4.2 Tangentes a la hipérbola paralelas a una dirección dada utilizando la circunferencia principal.


      Ver en Geogebra



      La perpendicular a la dirección dada, lo será también a las tangentes pedidas. De esta forma quedarán determinados los puntos M y M' una vez trazada la circunferencia principal.Los puntos de tangencia se encuentran donde se une el foco con los simétricos del otro foco.

      5. ASÍNTOTAS DE UNA HIPÉRBOLA

      Ver en geogebra
      Si la perpendicular a una dirección dada resulta tangente a la circunferencia principal, M, punto de tangencia, representa el único pie de la perpendicular de la tangente a la curva.
      Determinada la posición F1 para determinar el punto de tangencia resulta que la recta F1F' es paralela a la recta t.  Es decir, t pasa por el centro O, puesto que FM es tangente a la circunferencia principal y t es perpendicular a dicha tangente. En consecuencia, los puntos de tangencia de t con la curva son impropios.
      Las asíntotas pasan por el centro O de la curva y son tangentes de la curva en el infinito. Por tanto el problema se plantea como trazar las tangente desde el punto O.
      Geogebra




      Se denominan asíntotas de la hipérbola a sus tangentes en los puntos impropios o en el infinito.





      Podemos trazar dos asíntotas que pasan por O, centro de simetría y por los pies, M y M', de las perpendiculares que dichas tangentes tienen sobre la circunferencia principal.

      Se resuelve el problema trazando las tangentes desde un foco a la circunferencia principal.
      Otra forma:
      Ver uno618

      6. PUNTOS DE INTERSECCIÓN RECTA 

      La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos que son centros de circunferencias tangentes a una circunferencia focal y que pasa por el otro foco que no es centro de la focal.




      Descubre este lugar geométrico en la definición de hipérbola que nos ofrece José Antonio Cuadrado.

      Es decir, los puntos de intersección de una recta r y de la hipérbola son los centros de las circunferencias tangentes a la focal F1 y que pasan por los puntos simétricos de F2 respecto de la recta r. 
      Se resuelve este problema de tangencias ya estudiado "Hallar las circunferencias tangentes que pasan por dos puntos"



      EJERCICIOS

      APUNTES

      CURIOSIDADES

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      Cónicas I. Elipse

      fuente


      1. LA ELIPSE: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES

      Puedes seguir estudiando todos estos conceptos desde la estupenda página elaborada por José Antonio Cuadrado: Curvas Cónicas.

      1.1. Definición: 

      La elipse es una curva plana y cerrada que se define como el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a otros dos fijos es constante e igual a 2a, siendo AB=2a la longitud del eje mayor. Los puntos fijos F y F´ son los focos.

      1.2. Elementos y propiedades más importantes:


      • Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la curva.
      • El eje AB se llama eje real y se representa por 2a (AB).
      • El eje menor CD se representa 2b.
      • Los focos están en el eje real.
      • La distancia focal F F´ se representa por 2c.
      • Entre a, b y c existe la relación: a2=b2+c2
      • Es simétrica respecto a los dos ejes y por tanto respecto al centro O.
      • Las rectas que unen un punto P de la curva con los dos focos se llaman radios vectores. Por la definición se verifica que: r + r´= 2a
      • La circunferencia principal de la elipse es la que tiene por centro O y radio a. Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentes.




      • Las circunferencias focales tienen por centros los focos y radio 2a (AB).
      • La elipse se define también como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal del otros foco.



      • Si tenemos un diámetro de la elipse, el diámetro conjugado con él es el lugar geométrico de los puntos medios de todas las cuerdas paralelas al primero.
      • Los ejes son dos diámetros conjugados y los únicos que son perpendiculares. En la circunferencia todas las parejas de diámetros conjugados son perpendiculares.

      2. CONSTRUCCIÓN

      2.1. Elipse por puntos dados los ejes


      2.2 Elipse como proyección paralela oblicua de una circunferencia (figura afín), o sección oblicua de un cilindro.

      Construcción paso a paso en la siguiente presentación del blog PlasticaVegadeo

      2.3 OTRO PROCEDIMIENTO: Elipse como proyección ortogonal de una circunferencia sobre un plano.

      Ver vídeo

      2.4. Elipse por haces proyectivos dados los ejes


      2.5. Determinación de los ejes de una elipse dados sus diámetros conjugados.



      Los diámetros conjugados son aquellos que corresponden a la proyección de dos diámetros de la circunferencia que se cortan perpendicularmente.






      MÉTODO MANNHEIM









      Si R1 y P1 corresponden a extremos de diámetros perpendiculares en la circunferencia, sus homólogos R y P en la elipse serán extremos de diámetros conjugados.














      Para determinar los ejes mayor y menor dados sus diámetros conjugados observamos los ángulos alfa y beta en los dos triángulos R1, R, R2 y P1, P, P2. Estos ángulos son iguales por tener lados recpectivamente perpendiculares entre sí.

      Vamos a practicar giro de 90º para hacer coincidir R1 con P1.



      2º OTRO MÉTODO: DADOS LOS DIÁMETROS CONJUGADOS, OBTENCIÓN DE LA ELIPSE CONSIDERÁNDOLA COMO PROYECCIÓN OBLICUA DE UNA CIRCUNFERENCIA


      Se partirá de una circunferencia de diámetro AB, coplanaria  a la elipse y se unirá un extremo de su diámetro D' con D, obteniendo así la dirección (de afinidad) entre la circunferencia y la elipse. Queda, también, definido el triángulo OD'D. Tomando otros de la circunferencien y construyendo triángulos semejantes al primero y de lados paralelos, se obtendrán los vértices  que corresponden a los puntos de la elipse buscada.

      3º MÉTODO GENERAL



      2.4. Elipse por envolventes.

      Vídeo doblando papel
      Esta construcción se basa en que la circunferencia principal de diámetro 2a y centro O es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por cada foco a las tangentes.

      Por ejemplo, se toma un punto cualquiera P de la circunferencia principal, se une con F y se traza la perpendicular por P a la recta FP. La recta trazada es la tangente a la elipse. Repitiendo este procedimiento en diferentes puntos de de la circunferencia principal, se obtienen diferentes tangentes que van envolviendo la curva.

      3. RECTAS TANGENTES A LA ELIPSE

      3.1. Tangente por un punto P de la elipse



      La tangente a la elipse en el punto P es la recta t, bisectriz de los radios vectores de ese punto.
      La normal a la curva en el punto P es la recta n, perpendicular a la tangente.







      3.2 CIRCUNFERENCIAS FOCALES

      Ver en geogebra
      El simétrico de F respecto de la tangente ocupa la posición F1 sobre la prolongación del otro radio vector. Ahora bien, la distancia.
      F'F1 = PF' + PF1 = PF' + PF

      Pero

      PF' + PF = AA '= K

      Luego,

      F'F1 = K = AA'
      Lo que permite enunciar que: 

      La circunferencia con centro en un foco y radio igual al eje mayor, es el lugar geométrico de los simétricos del otro foco respecto de las tangentes. Se denomina circunferencia focal.

      3.3 Tangente a la elipse por un punto exterior

      Ver en geogebra

      Recomiendo ver el gráfico de uno618

      3.4 Tangentes a una elipse paralelas a una dirección dada.





      Las perpendiculares trazadas por F a la dirección d determina sobre la circunferencia focal (de F') los puntos F1 y F1', simétricos de F respecto de las tangentes pedidas.

      Se trazan las mediatrices de los segmentos FF1 y FF1' que son las tangentes buscadas.
      Los puntos de tangencia T y T', se determinan uniendo respectivamente los simétricos F1 y F1' de F con el otro foco F'.

      Ver gráfico de uno618

      EJERCICIOS

      1. Dadas dos focos y una tangente de una elipse, determinar los ejes y el punto de tangencia.
      2. Dadas tres rectas tangentes a una elipse y un foco, determinar el otro foco y los puntos de tangencia.
      3. Dada dos tangentes de una elipse, un punto de tangencia y un foco, determinar los ejes de la elipse. 

      4. CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL

      Geogebra

      Si trazamos las circunferencias focales, una tangente y los simétricos de los focosF1, F1' respecto de la tangente sobre la circunferencia focal correspondiente, se observa que en el triángulo F'F1'F, M' es punto medio del lado F'F1'. También O lo es del F'F, en consecuencia,OM' será paralela media, su lungitud valdrá 1/2 de FF' y siendo

      FF1' = K =AA'; OM' = 1/2 FF1'

      Se llega a la conclusión:

      OM' = 1/2 K = 1/2 AA' = OA

      Además F'M' es perpemdicular a la tangente, t, podrá enunciarse que:

      Los pies de la perpendiculares trazadas a las tangentes desde los focos, están situados sobre una circunferencia de centro O y radio igual al semieje mayor.

      Dicha circunferencia se denomina principal y es, por tanto el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes de la elipse.

      Ver uno618

      4.1 Tangentes a la elipse desde un punto exterior utilizando la circunferencia principal.

      Geogebra






      Puesto que el pie de la perpendicular, M, (M'), deben de estar sobre la circunferencia principal, trazando la circunferencia de diámetro PF, lugar geométrico de los vértices de los ángulos rectos cuyos lados pasan por P y F, quedará determinada la tangente, t y t' buscadas.

      Situando el simétrico de F, F1 y F1' respecto de la tangente y uniendo estos puntos con F' se obtendrán los puntos de tangencia T y T' buscados.



      4.2 Tangentes a la elipse paralelas a una dirección dada utilizando la circunferencia principal.

      Geogebra










      La perpendicular a la dirección dada, lo será también a las tangentes pedidas. De esta foma quedarán determinados los puntos M y M' una vez trazada la circunferencia principal.

      Los puntos de tangencia se encuentran donde se une el foco con los simétricos del otro foco.

      5. INTERSECCIÓN DE RECTAS CON LA ELIPSE

      Si recordamos la definición de elipse que anotamos más arriba:

      La elipse se define también como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal del otros foco.
      Comprueba en geogebra

      Puedes ver esta propiedad en la web de Jose Antonio Cuadrado
      Sea una recta r y una elipse dada por sus elementos, focos y vértices; los puntos de intersección que buscamos pertenecen a la elipse y por ello son los centros de las circunferencias tangentes a una de las circunferencias focales y que pasan por el otro foco. El problema se reduce a encontrar dichos centros.
      Ver problema nº 4 resueltos por potencia


      Geogebra
      Para ello, se traza la circunferencia focal con centro en F'.

      Se halla el simétrico de F, F1'. La circunferencia que buscamos ha de pasar por estos puntos y ser tangente a la focal.

      Se traza una circunferencia auxiliar cualquiera con centro en la recta r, O' y que pasa por F y F1'.

      Esta circunferencia corta a la focal en los puntos C y D.
      La cuerda CD y la recta F1'F se cortan en el centro radical Cr.

      Se trazan las tangentes a la focal y los puntos de tangencia T1 y T2 se unen con F, por lo que encontramos los puntos de intersección I1 I2, que son los puntos donde la recta corta a la elipse y a la vez los centros de las circunferencias tangentes a la focal en F' y que pasan por el otro foco F.

      6. TRAZADO DE RECTAS DIRECTRICES

      De Marinero Vakulinchuk - Trabajo propio, CC BY-SA 3.0, Enlace

      Trazamos una perpendicular al diámetro mayor por un foco hasta la circunferencia principal, dibujamos por el punto de corte una tangente a dicha circunferencia; en el lugar donde esa tangente encuentra la prolongación del diámetro mayor está la directriz, que es perpendicular al diámetro mayor. (wiki)


      EJERCICIOS

      APUNTES

      CURIOSIDADES

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