Geometría

La tangente a la elipse en el punto P es la recta t, bisectriz de los radios vectores de ese punto.

La normal a la curva en el punto P es la recta n, perpendicular a la tangente.

3.2 CIRCUNFERENCIAS FOCALES

El simétrico de F respecto de la tangente ocupa la posición F1 sobre la prolongación del otro radio vector. Ahora bien, la distancia.

F'F1 = PF' + PF1 = PF' + PF

Pero

PF' + PF = AA '= K

Luego,

F'F1 = K = AA'

Lo que permite enunciar que:

La circunferencia con centro en un foco y radio igual al eje mayor, es el lugar geométrico de los simétricos del otro foco respecto de las tangentes. Se denomina circunferencia focal.

3.3 Tangente a la elipse por un punto exterior

Recomiendo ver el gráfico de uno618

3.4 Tangentes a una elipse paralelas a una dirección dada.

Las perpendiculares trazadas por F a la dirección d determina sobre la circunferencia focal (de F') los puntos F1 y F1', simétricos de F respecto de las tangentes pedidas.

Se trazan las mediatrices de los segmentos FF1 y FF1' que son las tangentes buscadas.
Los puntos de tangencia T y T', se determinan uniendo respectivamente los simétricos F1 y F1' de F con el otro foco F'.

Ver gráfico de uno618

EJERCICIOS

Dadas dos focos y una tangente de una elipse, determinar los ejes y el punto de tangencia.
Dadas tres rectas tangentes a una elipse y un foco, determinar el otro foco y los puntos de tangencia.
Dada dos tangentes de una elipse, un punto de tangencia y un foco, determinar los ejes de la elipse.

4. CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL

Si trazamos las circunferencias focales, una tangente y los simétricos de los focosF1, F1' respecto de la tangente sobre la circunferencia focal correspondiente, se observa que en el triángulo F'F1'F, M' es punto medio del lado F'F1'. También O lo es del F'F, en consecuencia,OM' será paralela media, su lungitud valdrá 1/2 de FF' y siendo

FF1' = K =AA'; OM' = 1/2 FF1'

Se llega a la conclusión:

OM' = 1/2 K = 1/2 AA' = OA

Además F'M' es perpemdicular a la tangente, t, podrá enunciarse que:

Los pies de la perpendiculares trazadas a las tangentes desde los focos, están situados sobre una circunferencia de centro O y radio igual al semieje mayor.

Dicha circunferencia se denomina principal y es, por tanto el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes de la elipse.

Ver uno618

4.1 Tangentes a la elipse desde un punto exterior utilizando la circunferencia principal.

Puesto que el pie de la perpendicular, M, (M'), deben de estar sobre la circunferencia principal, trazando la circunferencia de diámetro PF, lugar geométrico de los vértices de los ángulos rectos cuyos lados pasan por P y F, quedará determinada la tangente, t y t' buscadas.

Situando el simétrico de F, F1 y F1' respecto de la tangente y uniendo estos puntos con F' se obtendrán los puntos de tangencia T y T' buscados.

4.2 Tangentes a la elipse paralelas a una dirección dada utilizando la circunferencia principal.

Puedes ver esta propiedad en la web de Jose Antonio Cuadrado

La perpendicular a la dirección dada, lo será también a las tangentes pedidas. De esta foma quedarán determinados los puntos M y M' una vez trazada la circunferencia principal.

Los puntos de tangencia se encuentran donde se une el foco con los simétricos del otro foco.

5. INTERSECCIÓN DE RECTAS CON LA ELIPSE

Si recordamos la definición de elipse que anotamos más arriba:

La elipse se define también como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal del otros foco.

Comprueba en geogebra

Sea una recta r y una elipse dada por sus elementos, focos y vértices; los puntos de intersección que buscamos pertenecen a la elipse y por ello son los centros de las circunferencias tangentes a una de las circunferencias focales y que pasan por el otro foco. El problema se reduce a encontrar dichos centros.

Ver problema nº 4 resueltos por potencia

Para ello, se traza la circunferencia focal con centro en F'.

Se halla el simétrico de F, F1'. La circunferencia que buscamos ha de pasar por estos puntos y ser tangente a la focal.

Se traza una circunferencia auxiliar cualquiera con centro en la recta r, O' y que pasa por F y F1'.

Esta circunferencia corta a la focal en los puntos C y D.
La cuerda CD y la recta F1'F se cortan en el centro radical Cr.

Se trazan las tangentes a la focal y los puntos de tangencia T1 y T2 se unen con F, por lo que encontramos los puntos de intersección I1 I2, que son los puntos donde la recta corta a la elipse y a la vez los centros de las circunferencias tangentes a la focal en F' y que pasan por el otro foco F.

6. TRAZADO DE RECTAS DIRECTRICES

Revisa el dibujo de Ignacio Larrosa sobre las directrices.

De Marinero Vakulinchuk - Trabajo propio, CC BY-SA 3.0, Enlace

Trazamos una perpendicular al diámetro mayor por un foco hasta la circunferencia principal, dibujamos por el punto de corte una tangente a dicha circunferencia; en el lugar donde esa tangente encuentra la prolongación del diámetro mayor está la directriz, que es perpendicular al diámetro mayor. (wiki)

EJERCICIOS

Colección de ejercicios de lasláminas. es. Soluciones
Ejercicios de cónicas por Gonzalo Abella

APUNTES

Introducción a las curvas técnicas. Repaso de los estudiados el curso pasado.
Curvas Técnicas. Repaso de 1º Bachillerato. Se incluyen cónicas.
Estudio de la elipse, parábola e hiperbola en la web de José Antonio Cuadrado
La elipse en laminas.es
La parábola en láminas.es
La hipérbola en láminas.es
Apuntes completos Ed. Sandoval
Apuntes completos del IES Alfonso X. Desde tangencias y cónicas
Presentación con los trazados paso a paso. Otra versión

CURIOSIDADES

Estructura hiperboloide en Gaudí.
Hiperboloide flexible con palos y gomitas

Espirógrafo On line

jueves, 29 de diciembre de 2016

Tangencias III. Inversión. Aplicación a la resolución de tangencias

De Melchoir - Trabajo propio, CC BY-SA 3.0, Enlace

5. RECTA Y CIRCUNFERENCIA INVERSA

En el primer capítulo de" Inversión I: Definición y propiedades", uno de los últimos capítulos del tema es la figura inversa de una recta.

Recordamos:

La figura inversa de una recta (que no pase por O) es una circunferencia que pasa por el centro de inversión.
Recíprocamente la figura inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta.

Conociendo esto podemos enunciar que:

Dadas una recta y una circunferencia pueden considerarse inversas en dos inversiones, una positiva y otra negativa, cuyos centros de inversión son los extremos del diámetro perpendicular a la recta.

6. TANGENTE EN UN PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA INVERSA DE UNA RECTA

La tangente t, en un punto B de una circunferencia con la recta s, que contiene al punto homólogo del punto de tangencia, forma un ángulo alfa igual al que forma s con la recta, r, figura inversa de la circunferencia.

Puedes hacer la demostración con geogebra como muestran ambos dibujos: inversión positiva e inversión negativa.

7. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA Y A UNA RECTA

Si los ángulos B y B' son iguales el triángulo BRB' es isósceles, sus lados iguales están, uno sobre la tangente t a la circunferencia en B, y el otro sobre la recta r inversa de la circuferencia O1.

O2, tangente a los lados del triángulo en B y B' lo será a la circunferencia dada, O1, y a su recta inversa, r.

Los puntos de tangencia de la circunferencia tangente a otra dada y a una recta son homólogos en la inversión que liga a la circunferencia dada y a la recta.

Por este procedimiento pueden resolverse de forma rápida, los problemas de tangencia siguientes resueltos por potencia:

5. Circunferencias tangentes a otra y a una recta, dado el punto de tangencia sobre la recta.
6. Circunferencia tangente a otra en un punto de ella y a una recta dada.

Además, la circunferencia O2 es inversa de sí misma, ya que pasa por dos puntos B, B' homólogolos en la inversión, con lo que cualquier punto P, de O2 tiene su inverso P' en ella misma y alineado con el centro de inversión, O.

8. CIRCUNFERENCIA QUE ES TANGENTE A OTRA, A UNA RECTA Y PASA POR UN PUNTO

Si P, pertenece a O2 su homólogo pertenece tambien a O2 y está alineado con con P y el centro O' de inversión. Como además, P y P' son concíclicos con otro par de puntos homólogos, A y A', por tanto, la circunferencia que contiane a A A' y P contiene a P'.

9. CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN PUNTO Y SON TANGENTES A OTRA DADA Y A UNA RECTA.

Este caso, se resuelve con dos soluciones por inversión positiva y otras dos con inversión negativa. El problema tiene un total de cuatro soluciones. Veamos los pasos por inversión positiva de las dos primeras:

Determinar el centro de inversión positiva O' y los homólogos A A'.
Encontrar el homólogo de P con ayuda de la circunferencia que pasa por AA'P.
Trazar las circunferencias O2 y O3 que pasan por dos puntos P P', y son tangentes a r (Ver ejercicio nº 2 por potencia).

Ahora, las dos soluciones por inversión negativa:

Determinar el centro de inversión negativa O y los homólogos A A'.
Encontrar el homólogo de P con ayuda de la circunferencia que pasa por AA'P.
Trazar las circunferencias O2 y O3 que pasan por dos puntos P P', y son tangentes a r (Ver ejercicio nº 2 por potencia).

9.1 SEGUNDO MÉTODO

También se puede resolver este problema tomando como centro de inversión el punto P. Transformando la circunferencia dada en inversa de sí misma y hallando la circunferencia inversa de la recta dada.
Si atendemos a la propiedad explicada más arriba donde se conservan los ángulos en la inversión, las circunferencias solución son inversas de las rectas tangentes comunes a la circunferencia dada y a la circunferencia inversa de la recta que hayamos. El problema así planteado nos ofrece cuatro soluciones mediante una sola inversión. Se siguen los siguientes pasos:

Hallamos la circunferencia inversa de la recta.
Se trazan las tangentes exteriores e interiores a las dos circunferencias determinando los puntos de tangencia.
Se dibujan los inversos de los puntos de tangencia hallados contenidos en la circunferencia dada que es inversa de sí misma. Estos puntos de tangencia pertenecen a las soluciones buscadas. Ver en Geogebra

9.2. EJERCICIOS

CRP Resuelto de otro modo en Circulandia

10. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA Y A DOS CIRCUNFERENCIAS

En su caso general, este problema tiene ocho soluciones.

Aplicamos el método gráfico de sumar y restar datos para reducir elementos y poder resolver el problema por medio de un caso ya resuelto (ejercicio nº 8). Para ello, trazamos rectas paralelas a r a una distancia igual al radio de la circunferencia menor, y hacemos lo mismo con la circunferencia mayor. Para simplificar el problema operamos solo con r' y O'.

Ahora estamos en el caso anterior:

Determinar el centro de inversión negativa o positiva O y los homólogos A A'.
Encontrar el homólogo de P con ayuda de la circunferencia que pasa por AA'P.
Trazar las circunferencias O2 y O3 que pasan por dos puntos P P', y son tangentes a r (Ver ejercicio nº 2 por potencia).
Volviendo al radio origen podemos dibujar dos de las soluciones buscadas.

Estudiemos el problema a través de los trabajos realizados por otros profesores:

los problemas resueltos (CCR) y de la presentación elaborada por el profesor Gonzalo Avella:

Rcc from gonzalo arratibel

Por Luis Pérez, veamos aquí uno de los casos.
Por dibujo técnico.com
Un caso particular por Jose Ángel Suarez

11. CIRCUNFERENCIAS INVERSAS

Ver Geogebra

Dadas dos circunferencias, si se determina su centro de homotecia correspondiente (de razón positiva o negativa), y se permutan los puntos homólogos, tenemos que:
OA/OB' = OB/OA'

OA . OA' = OB . OB' = K

Los que demuestra que dos circunferencias (no tangentes, ni concéntricas) son inversas con centros de inversión coincidentes con los de la homotecia.

Multiplicando los miembros de la igualdad, resulta:

OA . OA' . OB . OB' = K2 (cuadrado)

Pero,
OA . OB = OT2 y OA' . OB' = OT'2
Sustituyendo,
OT2 . OT'2 = K2,

OT . OT' = K

Es decir, que los puntos de tangencia de las tangentes comunes (exteriores o interiores) son homólogolos en la inversión (positiva o negativa) que liga a las circunferencias.

12. TANGENTES EN PUNTOS HOMÓLOGOS DE DOS CIRCUNFERENCIAS.

En la inversión de dos circunferencias las rectas tangentes en puntos homólogos, forman el mismo ángulo con las rectas que unen dichos puntos con el centro de inversión.

De lo que se deduce que:

En la inversión se conservan los ángulos.

Las tangentes a dos circunferencias en puntos homólogos, en la inversión, se cortan en el eje radical de las circunferencias.

Pasará lo mismo en la inversión negativa. Os dejo a vosotros que lo comprobéis con el dibujo pertinente.

13. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRAS DOS INVERSAS

Puesto que los triángulos BRB' y AR1A' son isósceles, prolongando los radios de las circunferencias O1 y O2 que pasan por los puntos homólogos B B' (AA'), se determinan los centros O3 y O4 de circunferencias tangentes a las inversas O1 y O2.

Pasaría lo mismo en la inversión negativa. Os animo a que hagáis vosotros el dibujo.

Por tanto,
Por puntos homólogos en la inversión de dos circunferencias pasan circunferencias tangentes a ellas. Además estas circunferencias son inversas de sí mismas.

14. INTERSECCIONES DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRAS DOS INVERSAS

Siendo O3 y O4 inversas de sí mismas. Si tomamos el punto P de la intersección entre ellas, debe cumplirse, tanto en uno como en otra:

OA . OA' = OB . OB' = PO . OP' = K

Lo que demuestra que el otro punto de intersección, P', está alineado con P y O, en definitiva es el inverso de P y convierte a la circunferencia O1 en la O2.

Por tanto:

Los puntos de intersección entre dos circunferencias, tangentes a otras dos dadas, son homólogos en las inversiones que ligan a las dos circunferencias dadas.

Esto sucede en la inversión positiva, como vemos en la imagen, como en la negativa, que espero hagáis el dibujo para comprobarlo.

15. DADAS DOS CIRCUNFERENCIAS Y UN PUNTO, TRAZAR LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A LAS DADAS QUE PASAN POR EL PUNTO.

Dos soluciones por inversión positiva:

El centro de inversión positiva se encontrará al trazar las tangentes exteriores a las circunferencias dadas en T1 y T2.
Hallamos el homólogo de P por medio de una circunferencia auxiliar que pasa por P, T1 y T2, por ser puntos concíclicos y T1 y T2 homólogos. Las circunferencias buscadas pasarán por P y P'.
Determinar las circunferencias que pasan por dos puntos P y P' y son tangentes a una de ellas, por ejemplo a O2 (Problema nº 4 de tangencias resueltas por potencia).

Para resolver esta última parte se ha utilizado como circunferencia auxiliar la P T1 T2 P', ya secante a las dadas. Hemos hallado los puntos de tangencia T1'' y T2'' sobre la circunferencia mayor, con la intención de disminuir los errores propios del dibujo, que serían mayores utilizando la circunferencia pequeña.

Los puntos de tangencia T1' y T2' sobre la circunferencia O1, son inmediatos, pues son inversos de T1'' y T2''.

Dos soluciones por inversión negativa:

Os animo a realizar el problema con Geogebra.

15.1 SEGUNDO PROCEDIMIENTO

También se puede resolver el problema tomando como centro de inversión el punto P y transformando la circunferencia O2 en inversa de sí misma y la otra en inversa de de O1' con la misma potencia de inversión, PT.

Recordando que los ángulos se conservan en la inversión, las circunferencias solución son las inversas de las rectas tangentes comunes a O1' y O2. Con este procedimiento obtenemos las cuatro soluciones mediante una sola inversión.

Observa cómo se han obtenido O1' determinando primero T1':

PT1.PT′1=PT2

PT′1=PA

Siendo A' el homólogo de A
Vemos que:

PA⋅PA′=PT2

Con lo cual,

PA′=PT′1

Se han trazado solo una recta tangente exterior y otra interior a O1 y O1' para no complicar la construcción. Los puntos de tangencias T1''' y T3''' se obtienen de los inversos correspondientes alineados con P, T1'' y T3'' y sobre la circunferencia inversa de sí misma.

15.2 EJERCICIOS

CCP en circunlandia. Resuelto por inversión negativa.
Dadas dos circunferencias y un punto de tangencia sobre una ellas trazar las circunferencias tangentes.

16. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRAS TRES DADAS.

De Melchoir - Trabajo propio, CC BY-SA 3.0, Enlace

Este caso también se conoce como el problema de Apolonio.

Aplicando las dilataciones, a fin de reducir una de ellas a un punto, se resulve el problema reduciéndolo al caso anterior. En el caso general se obtienen ocho soluciones:

Centro de homotecia directo Hd, y diferencia de radios (R”’-R’ y R”-R’). Dos soluciones. FIG. 39.
Centro de homotecia directo Hd, y suma de radios (R”’+R’ y R”+R’). Dos soluciones.
Centro de homotecia inverso Hi, sumando a O”’ y restando a O” el radio R’. (R”’+R’ y R”-R’). Dos soluciones.
Centro de homotecia inverso Hi, restando a O”’ y sumando a O” el radio R’. (R”’-R’ y R”+R’). Dos soluciones.

De WillowW - Trabajo propio, CC BY-SA 3.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4557488

La tangencia entre circunferencias se conserva si sus radios varían en cantidades iguales.

Una circunferencia solución (en rosa) se debe reducir o ampliar junto con las circunferencias que sean tangentes interiormente (la circunferencia negra de la derecha), mientras que las circunferencias tangentes exteriormente (las dos circunferencias negras de la izquierda) hacen la transformación contraria.

De WillowW - Trabajo propio, CC BY-SA 3.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4548117

Una pareja de soluciones conjugadas del problema de Apolonio (circunferencias en rosa), donde las circunferencias negras son las dadas.

De WillowW - Trabajo propio, CC BY-SA 3.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4548080

Las dos rectas tangentes de los dos puntos de tangencia de una circunferencia dada intersecan al eje radical R (recta roja) de las dos circunferencias soluciones (en rosa). Los tres puntos de intersección sobre I son los polos de las rectas que unen los puntos de tangencia azules en cada circunferencia dada (en negro).

Veamos el vídeo que nos prepara el profesor Juan Carlos García:

16.1 EJERCICIOS

Hay otros vídeos y otras explicaciones que te pueden servir de ayuda:

16. 2 VÍDEOS:

16.3 ARTÍCULOS:

Los problemas de Apolonio en la revista Suma.
El beso de Frederick Soddy
Los 10 problemas de Apolonio en Piziadas

17. EJERCICIOS

Los problemas de Apolonio en la web uno618
Los problemas de Apolonio en la web de Gonzalo Abella.
Tangencias guitarra
Problema de tangencias. Cuadrado tangente a 4 circunferencias.
Ejercicio de enlace en Circulandia.
Figura mediante enlaces. Circunlandia
Enlazar Puntos
Enlace con elipse

lunes, 26 de diciembre de 2016

Tangencias IV. Problemas de Apolonio

Para entender los 10 problemas de Apolonio os presente el blog de Joaquín Turina de Santos "Apolonio", donde, no solo vamos a comprender visualmente los diez problemas, además podremos disfrutar de expresiones artísticas fascinantes que ilustran la complejidad y la belleza de estos problemas.

A continuación, la presentación del profesor Juan Díaz Almagro con los 7 primeros problemas resueltos paso a paso y aplicaciones en el dibujo de piezas.

TANGENCIAS APLICANDO POTENCIA E INVERSIÓN. DIBUJO TÉCNICO 2º BACHILLERATO from JUAN DIAZ ALMAGRO

ENLACES DE INTERÉS

EJERCICIOS

Todos los casos de Apolonio por Gonzalo Abella
Todos los casos de Apolonio resueltos
El problema CCC

ENLACES

Problema de enlaces para imprimir

GEOGEBRA

Los diez casos de Apolonio. Del blog dedicado en exclusiva Apollonius donde la geometría se convierte en arte. De Joaquín Turina

viernes, 23 de diciembre de 2016

TANGENCIAS II. Resolución por ejes radicales y centros radicales

1. Circunferencia tangente a otras dos dado el punto de tangencia sobre una de ellas. (Geogebra)

Circunferencias tangentes a otras dos, dado el punto de tangencia en una de ellas.Por potencia from Plástica Alagón

Las circunferencias solución deberán tener la misma potencia que las dadas respecto de un centro radical, que debe permanecer, forzosamente, al eje radical de las dadas. Puesto que las soluciones deben ser tangentes a la circunferencia con el punto de tangencia dado, el eje radical correspondiente a dichas soluciones será además tangente en ese punto de tangencia.
En la intersección de ambos lugares se encontrará el centro radical, a partir del cual será sencillo determinar los puntos de tangencia.

2. Trazar las circunferencias tangentes a una recta, que pasen por dos puntos. Geogebra

Los centros solución han de estar sobre la mediatriz de los puntos dados.

Hallaremos un punto P en r, que pertenece al eje radical de las soluciones. P tiene la misma potencia respecto de una circunferencia cualquiera auxiliar que pasa por AB, que respecto de las soluciones.

3. Circunferencias tangentes a dos rectas y que pasen por un punto (Geogebra)

EXPLICACIÓN

Los centros estarán situados sobre la bisectriz.

Determinamos un punto P´simétrico de P respecto a la bisectriz. De esta forma se resuelve el problema reduciéndolo al caso anterior.

Este problema también se puede resolver por homotecia o inversión (Mongge):

4. Circunferencias tangentes a un circunferencia dada y que pasan por dos puntos:

En este caso, los puntos podrán ser interiores o exteriores a la circunferencia dada. Veamos el caso cuando los puntos son exteriores:

A continuación, el caso cuando los puntos son interiores.