Apolonio de Pérgamo (260-170 AC aprox.), fue un geómetra griego famoso por su obra sobre las secciones cónicas. Fue contemporáneo de Arquímedes. Recomiendo que leáis el siguiente artículo en el blog "Ag-nosotros no somos catetos" sobre Apolonio, su obra en torno a las cónicas y sus famosos diez problemas.
Para el estudio de las cónicas empezaremos abriendo boca con un vídeo de la serie "La aventura del saber" que nos explica la trascendencia que tienen estas curvas en la actualidad: "Cónicas del balonces a las cometas"
A continuación, un vídeo donde vemos como se genera cada una de las curvas:
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; siempre que dicho plano no pase por el vértice. Se clasifican en cuatro tipos:CIRCUNFERENCIA, ELIPSE, PARÁBOLA e HIPÉRBOLA.
El Teorema de Dandelin demuestra que los focos de una curva cónica se encuentran en los puntos de tangencia del plano secante con dos esferas que están inscritas en la superficie cónica y son además tangentes a dicho plano.
Recomiendo ver este vídeo para entender el Teorema de Dandelin de una manera menos abstracta.
Wikipedia: La recta directriz de una sección cónica se puede encontrar utilizando la construcción de Dandelin. Cada esfera de Dandelin se interseca con el cono en un círculo, cada uno de estos círculos k1 y k2 define su propio plano (πk1 y πk2), estos planos son paralelos entre sí y perpendiculares al eje del cono. Las intersecciones de estos dos planos con el plano π definirán en general dos líneas Df1 y Df2 (rojas en la figura), paralelas entre si, perpendiculares al eje del cono y externas al cono, estas líneas son conocidas como las directrices de las secciones cónica. La parábola es un caso particular porque sólo puede tener una esfera de Dandelin, y por lo tanto tendrá una sola directriz, la circunferencia es el otro caso particular dado que el plano π de intersección con el cono es paralelo a los círculos k1 y k2 y en consecuencia no se produce intersección alguna, lo que implica que la circunferencia no tiene recta directriz.
Usando de las esferas Dandelin, se puede demostrar que cualquier sección cónica es el lugar geométrico de los puntos para los que la distancia de un punto llamado foco es proporcional a la distancia de la directriz. Los antiguos matemáticos griegos como Pappus de Alejandría ya eran conscientes de esta propiedad, pero nuevamente las esferas de Dandelin permiten facilitar mucho la prueba.
Puedes seguir estudiando todos estos conceptos desde la estupenda página elaborada por José Antonio Cuadrado: Curvas Cónicas.
1.1. Definición:
La hipérbola es una curva plana y abierta, que se define como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos es constante e igual a 2a, siendo AB=2a la longitud del eje real. Los puntos fijos F y F´ son los focos.
Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la curva.
El eje AB se llama eje real y se representa por 2a (AB).
El eje menorCD se representa 2b y se llama imaginario por que no tiene puntos comunes con la curva.
Los focos están en el eje real.
La distancia focal F F´ se representa por 2c.
Entre a, b y c existe la relación: c2=a2+b2
Es simétrica respecto a los dos ejes y por tanto respecto al centro O.
Las rectas que unen un punto P de la curva con los dos focos se llaman radios vectores. Por la definición se verifica que: r - r´= 2a
La circunferencia principal de la hipérbola es la que tiene por centro O y radio a. Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentes.
Las circunferencias focales tienen por centros los focos y radio 2a (AB).
La hipérbola se define también como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal del otros foco.
Este problema se resuelve analizando la relación que existe entre las asíntotas y un punto cualquiera de la hipérbola.
De esta manera dado un punto cualquiera podremos trazar rectas que corten a las asíntotas e igualar las distancias para obtener los puntos necesarios para dibujar una rama. La otra rama se obtiene por simetría.
Si se representa una tangente cualquiera a la curva, se comprueba que el simétrico de F2 respecto de la tangente es el F2', situado sobre el otro radio vector.
Atendiendo q que t es la bisectriz del ángulo que se forma en T, se observa que TF2 = TF2', con lo que F1F2' = k = AB.
Lo que permite enunciar que:
El lugar geométrico que ocupan los simétricos de un foco, F1 o F2 respecto de las tangentes, a su rama correspondiente, es una circunferencia con centro en el otro foco y radio igual al eje real AB.
Los dos lugares geométricos que se pueden obtener se denominan circunferencias focales.
3.3 Tangente a la hipérbola por un punto exterior.
Siendo P el punto exterior dado, los simétricos de F2 respecto a las tangentes buscadas, deben estar en la circunferencia focal de centro F1 y, además equidistar de P. Por tanto se encuentran trazando la circunferencia de centro en P y radio PF2.
Como las tangentes pedidas deben de ser mediatrices de los segmentos F2 F2' y F2F2'', y por supuesto, pasaran por el punto P.
Los puntos de tangencia se encontrarán sobre las rectas que unen F1 con F2' y con F2''.
3.4 Tangentes a una hipérbola paralelas a una dirección dada
Sea d la dirección dada.
Por ser las tangentes que se buscan paralelas a esa dirección, la perpendicular a ellas desde un foco F, lo será también a la dirección dada.
Trazada por F la perpendicular a la d, quedaran determinados sobre la circunferencia focal de F', los puntos F1 y F2, simétricos al foco F respecto de las tangentes buscadas.
Las mediatrices t1 y t2 de los segmentos FF1 y FF2, paralelas a la dirección, son las tangentes pedidas.
Los puntos de tangencia se encuentra sobre t1 y t2, en las rectas que pasan por F' y por cada uno de los respectivos simétricos.
Cualquier problema planteado en la elipse en este capítulo se podría formular de igual forma para la hipérbola. Os dejo, a continuación, algunos problemas resueltos:
Trazada una tangente en un punto de la hipérbola, se observa que en el triángulo F1F2'F2, M es punto medio del lado F2'F2. También O lo es del F1F2, en consecuencia, OM' será paralela media de dicho triángulo y su longitud igual 1/2 de F1F2' y siendo
F1F2'' = K =AB; OM = 1/2 AB
Se llega a la conclusión:
OM = 1/2 K = 1/2 AB = OA
Además F2M es perpendicular a la tangente, t, podrá enunciarse que:
Los pies de la perpendiculares trazadas a las tangentes desde los focos, están situados sobre una circunferencia de centro O y radio igual al semieje real.
Dicha circunferencia se denomina principal y es, por tantoel lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes de la hipérbola.
Según lo dicho para la circunferencia principal, el pie de la perpendicular, M, (M'), deben de estar sobre la circunferencia principal, trazando la circunferencia de diámetro PF, lugar geométrico de los vértices de los ángulos rectos cuyos lados pasan por P y F2 (arco capaz), quedará determinada la tangente, t y t' buscadas.
Situando el simétrico de F2, F2' y F2'' respecto de la tangente y uniendo estos puntos con F1 se obtendrán los puntos de tangencia T y T' buscados.
4.2 Tangentes a la hipérbola paralelas a una dirección dada utilizando la circunferencia principal.
La perpendicular a la dirección dada, lo será también a las tangentes pedidas. De esta forma quedarán determinados los puntos M y M' una vez trazada la circunferencia principal.Los puntos de tangencia se encuentran donde se une el foco con los simétricos del otro foco.
Si la perpendicular a una dirección dada resulta tangente a la circunferencia principal, M, punto de tangencia, representa el único pie de la perpendicular de la tangente a la curva. Determinada la posición F1 para determinar el punto de tangencia resulta que la recta F1F' es paralela a la recta t. Es decir, t pasa por el centro O, puesto que FM es tangente a la circunferencia principal y t es perpendicular a dicha tangente. En consecuencia, los puntos de tangencia de t con la curva son impropios. Las asíntotas pasan por el centro O de la curva y son tangentes de la curva en el infinito. Por tanto el problema se plantea como trazar las tangente desde el punto O.
Se denominan asíntotas de la hipérbola a sus tangentes en los puntos impropios o en el infinito.
Podemos trazar dos asíntotas que pasan por O, centro de simetría y por los pies, M y M', de las perpendiculares que dichas tangentes tienen sobre la circunferencia principal.
Se resuelve el problema trazando las tangentes desde un foco a la circunferencia principal.
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos que son centros de circunferencias tangentes a una circunferencia focal y que pasa por el otro foco que no es centro de la focal.
Descubre este lugar geométrico en la definición de hipérbola que nos ofrece José Antonio Cuadrado.
Es decir, los puntos de intersección de una recta r y de la hipérbola son los centros de las circunferencias tangentes a la focal F1 y que pasan por los puntos simétricos de F2 respecto de la recta r.
Se resuelve este problema de tangencias ya estudiado "Hallar las circunferencias tangentes que pasan por dos puntos"
Puedes seguir estudiando todos estos conceptos desde la estupenda página elaborada por José Antonio Cuadrado: Curvas Cónicas.
1.1. Definición:
La elipse es una curva plana y cerrada que se define como el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a otros dos fijos es constante e igual a 2a, siendo AB=2a la longitud del eje mayor. Los puntos fijos F y F´ son los focos.
Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la curva.
El eje AB se llama eje real y se representa por 2a (AB).
El eje menor CD se representa 2b.
Los focos están en el eje real.
La distancia focal F F´ se representa por 2c.
Entre a, b y c existe la relación: a2=b2+c2
Es simétrica respecto a los dos ejes y por tanto respecto al centro O.
Las rectas que unen un punto P de la curva con los dos focos se llaman radios vectores. Por la definición se verifica que: r + r´= 2a
La circunferencia principal de la elipse es la que tiene por centro O y radio a. Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentes.
Las circunferencias focales tienen por centros los focos y radio 2a (AB).
La elipse se define también como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal del otros foco.
Si tenemos un diámetro de la elipse, el diámetro conjugado con él es el lugar geométrico de los puntos medios de todas las cuerdas paralelas al primero.
Los ejes son dos diámetros conjugados y los únicos que son perpendiculares. En la circunferencia todas las parejas de diámetros conjugados son perpendiculares.
2.5. Determinación de los ejes de una elipse dados sus diámetros conjugados.
Los diámetros conjugados son aquellos que corresponden a la proyección de dos diámetros de la circunferencia que se cortan perpendicularmente.
MÉTODO MANNHEIM
Si R1 y P1 corresponden a extremos de diámetros perpendiculares en la circunferencia, sus homólogos R y P en la elipse serán extremos de diámetros conjugados.
Para determinar los ejes mayor y menor dados sus diámetros conjugados observamos los ángulos alfa y beta en los dos triángulos R1, R, R2 y P1, P, P2. Estos ángulos son iguales por tener lados recpectivamente perpendiculares entre sí.
Vamos a practicar giro de 90º para hacer coincidir R1 con P1.
2º OTRO MÉTODO: DADOS LOS DIÁMETROS CONJUGADOS, OBTENCIÓN DE LA ELIPSE CONSIDERÁNDOLA COMO PROYECCIÓN OBLICUA DE UNA CIRCUNFERENCIA
Se partirá de una circunferencia de diámetro AB, coplanaria a la elipse y se unirá un extremo de su diámetro D' con D, obteniendo así la dirección (de afinidad) entre la circunferencia y la elipse. Queda, también, definido el triángulo OD'D. Tomando otros de la circunferencien y construyendo triángulos semejantes al primero y de lados paralelos, se obtendrán los vértices que corresponden a los puntos de la elipse buscada.
Esta construcción se basa en que la circunferencia principal de diámetro 2a y centro O es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por cada foco a las tangentes.
Por ejemplo, se toma un punto cualquiera P de la circunferencia principal, se une con F y se traza la perpendicular por P a la recta FP. La recta trazada es la tangente a la elipse. Repitiendo este procedimiento en diferentes puntos de de la circunferencia principal, se obtienen diferentes tangentes que van envolviendo la curva.
El simétrico de F respecto de la tangente ocupa la posición F1 sobre la prolongación del otro radio vector. Ahora bien, la distancia.
F'F1 = PF' + PF1 = PF' + PF
Pero
PF' + PF = AA '= K
Luego,
F'F1 = K = AA'
Lo que permite enunciar que:
La circunferencia con centro en un foco y radio igual al eje mayor, es el lugar geométrico de los simétricos del otro foco respecto de las tangentes. Se denomina circunferencia focal.
Las perpendiculares trazadas por F a la dirección d determina sobre la circunferencia focal (de F') los puntos F1 y F1', simétricos de F respecto de las tangentes pedidas.
Se trazan las mediatrices de los segmentos FF1 y FF1' que son las tangentes buscadas. Los puntos de tangencia T y T', se determinan uniendo respectivamente los simétricos F1 y F1' de F con el otro foco F'.
Si trazamos las circunferencias focales, una tangente y los simétricos de los focosF1, F1' respecto de la tangente sobre la circunferencia focal correspondiente, se observa que en el triángulo F'F1'F, M' es punto medio del lado F'F1'. También O lo es del F'F, en consecuencia,OM' será paralela media, su lungitud valdrá 1/2 de FF' y siendo
FF1' = K =AA'; OM' = 1/2 FF1'
Se llega a la conclusión:
OM' = 1/2 K = 1/2 AA' = OA
Además F'M' es perpemdicular a la tangente, t, podrá enunciarse que:
Los pies de la perpendiculares trazadas a las tangentes desde los focos, están situados sobre una circunferencia de centro O y radio igual al semieje mayor. Dicha circunferencia se denominaprincipaly es, por tantoel lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes de la elipse.
Puesto que el pie de la perpendicular, M, (M'), deben de estar sobre la circunferencia principal, trazando la circunferencia de diámetro PF, lugar geométrico de los vértices de los ángulos rectos cuyos lados pasan por P y F, quedará determinada la tangente, t y t' buscadas.
Situando el simétrico de F, F1 y F1' respecto de la tangente y uniendo estos puntos con F' se obtendrán los puntos de tangencia T y T' buscados.
4.2 Tangentes a la elipse paralelas a una dirección dada utilizando la circunferencia principal.
La perpendicular a la dirección dada, lo será también a las tangentes pedidas. De esta foma quedarán determinados los puntos M y M' una vez trazada la circunferencia principal.
Los puntos de tangencia se encuentran donde se une el foco con los simétricos del otro foco.
5. INTERSECCIÓN DE RECTAS CON LA ELIPSE
Si recordamos la definición de elipse que anotamos más arriba:
La elipse se define también como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal del otros foco.
Sea una recta r y una elipse dada por sus elementos, focos y vértices; los puntos de intersección que buscamos pertenecen a la elipse y por ello son los centros de las circunferencias tangentes a una de las circunferencias focales y que pasan por el otro foco. El problema se reduce a encontrar dichos centros.
Para ello, se traza la circunferencia focal con centro en F'.
Se halla el simétrico de F, F1'. La circunferencia que buscamos ha de pasar por estos puntos y ser tangente a la focal.
Se traza una circunferencia auxiliar cualquiera con centro en la recta r, O' y que pasa por F y F1'.
Esta circunferencia corta a la focal en los puntos C y D. La cuerda CD y la recta F1'F se cortan en el centro radical Cr.
Se trazan las tangentes a la focal y los puntos de tangencia T1 y T2 se unen con F, por lo que encontramos los puntos de intersección I1 I2, que son los puntos donde la recta corta a la elipse y a la vez los centros de las circunferencias tangentes a la focal en F' y que pasan por el otro foco F.
Trazamos una perpendicular al diámetro mayor por un foco hasta la circunferencia principal, dibujamos por el punto de corte una tangente a dicha circunferencia; en el lugar donde esa tangente encuentra la prolongación del diámetro mayor está la directriz, que es perpendicular al diámetro mayor. (wiki)
