Inversión I. Definición y propiedades

Para que conozcáis mejor a Escher

Este tema lo vamos a dividir en tres capítulos:

1. Inversión I. Definición y propiedades. Inversión de puntos, rectas y circunferencias.
2. Inversión II. Determinación de figuras inversas.
3. Tangencias III. Inversión. Aplicación a la resolución de problemas de tangencia.

El Dr. Néstor Martín Gulias, catedrático de dibujo técnico, arranca su blog sobre Tangencias por inversión de la siguiente manera:

"Una circunferencia se transforma en una recta según se incrementa su radio: una recta es una circunferencia de radio infinito".

"Una inversión es una simetría axial en la que el eje se transforma en una circunferencia. La simetría axial divide el plano en dos semiplanos y los elementos de uno son inversos del otro; en la inversión hay dos superficies, la comprendida dentro de la circunferencia y la exterior a la misma.

Para calcular el inverso de un punto interno A se hace un segmento OA y se prolonga hasta que corte a la tangente por T, punto de intersección de la circunferencia y la perpendicular a OA por A.
A y A’ son inversos y siempre están alineados con O, que es el centro de inversión. Los puntos inversos de la circunferencia roja son dobles (inversos de sí mismos) por lo que se llama de autoinversión".

Fuente

DEFINICIÓN

La Inversión es una transformación geométrica anamórfica ( la figura transformada es totalmente diferente a la figura de partida. Ver generalidades en este mismo blog). En la inversión se tienen que cumplir lo siguiente:

• Dos puntos inversos (A, A’) están alineados con un punto fijo llamado Centro de Inversión (O).

• El producto de la distancia de un punto al Centro de Inversión por la distancia de su inverso al Centro de Inversión es constante (K) y se llama Potencia de Inversión.

K positiva

K negativa

Esto quiere decir que OA·OA’ = OB·OB’ = K

Si los puntos homólogos, A y A´, B y B´, ..., están a un mismo lado de O, la potencia es positiva.
Si están a distinto lado de O, K es negativa.
(Comprueba con la imagen interactiva del profesor Lúis Pérez si se cumplen estas propiedades)

PROPIEDADES DE LA INVERSIÓN

1. LOS PARES DE PUNTOS HOMÓLOGOS EN LA INVERSIÓN SON CONCÍCLICOS

Según la definición de potencia de un punto respecto a una circunferencia, se verifica que:

OA·OA’ = OB·OB’ = K,

Correspondiéndose con lo establecido para la inversión permite enunciar que dos pares de puntos homólogos en la inversión, son concíclicos, es decir, pertenecen a una circunferencia.

Ver en Geogebra

1.1 EJERCICIO: 

Dados el centro de inversión, O y dos puntos homólogos A A´ y otro punto B, hallar su inversión.

1.2 EJERCICIO:

Dados dos puntos A A´, homólogos, en el centro de inversión O, y un punto B, en la recta que los contiene, hallar su homólogo.

Puesto que la potencia de inversión, K, implica que:

                                                OA⋅OA´=OB⋅OB´=K

Si trazamos una circunferencia cualquiera AA´y una secante a ella que pase por O, se verificará:

                                                   OA⋅OA´=OM⋅OM

Determinando, Luego, la circunferencia que pasa por B M M, resultará en su intersección con la recta OA, el punto B´, homólogo de B.

OA⋅OA´=OM⋅OM
OM⋅OM=OB⋅OB´
OA⋅OA´=OB⋅OB´=K

Cuando la potencia es negativa procederemos de la misma manera.

2. CIRCUNFERENCIA DE PUNTOS DOBLES

Ver en geogebra

En la inversión de potencia positiva existen puntos dobles, es decir,  homólogos de sí mismos.
Es evidente que:






                                   OT2=OA⋅OA′=K


Luego , la circunferencia de centro en O y radio




 OT=K−−√ contiene a los puntos dobles. El segmento OT, por tanto es media proporcional OA y OA' y se resuelve utilizando la construcción del Teorema del Cateto.

Todos los puntos que pertenecen a ella tienen sus inversos en el mismo lugar. Coinciden por lo tanto A con A' y por extensión T con T'; esto significa que es una circunferencia doble (T = T') de puntos dobles.

Recibe el nombre de "circunferencia de autoinversión" o "circunferencia raiz de K".

2.1 EJERCICIO:

Dibuja el inverso del punto A (punto exterior), conociendo la c.p.d

Dibuja el inverso del punto A (punto interior), conociendo la c.p.d

2.2 EJERCICIO

Dibuja la circunferencia de puntos dobles dados el centro de inversión y una los puntos inversos A, A'.

Geogebra

Este problema se resuelve por arco capaz del segmento OA' de 90º o mediante un tercer punto.

Veamos esta última solución:

Se elije un punto arbitrario B y calculamos el homólogo de B' por medio de una circunferencia auxiliar que pasa por A A' y B.

La potencia del centro de inversión O respecto a la circunferencia auxiliar es la potencia de inversión, dado que los puntos de tangencia desde O a dicha circunferencia han de ser sus propios inversos. Se traza la recta tangente desde O y el segmento OT es la raíz de la potencia y, por tanto, el radio de la circunferencia de puntos dobles buscada.

3. RECTAS INVERSAS DE SÍ MISMAS

Todas las rectas que pasan por el punto O, centro de inversión, son homólogas de sí mismas, sin ser dobles todos sus puntos, a excepción de los pertenecientes a la circunferencia de puntos dobles:

4. CIRCUNFERENCIAS INVERSAS DE SÍ MISMAS

Geogebra

Lo mismo sucede con todas las circunferencias que pasan por dos puntos homólogos. Sin ser dobles todos sus puntos (a excepción los de intersección con la circunferencia de puntos dobles, en la inversión de potencia positiva), son homólogas de sí mismas. Se cumple en todos los casos:

   OA⋅OA´=OB⋅OB´=K

4.1 ÁNGULOS IGUALES QUE SE FORMAN

RECTAS ANTIPARALELAS

Dos rectas concurrentes en O son cortadas por dos antiparalelas respecto de ellas en puntos inversos de una inversión de centro O.

Ver gráfico de Esther Alonso

Si se unen mediante rectas dos puntos AB y también sus homólogos A´B´, los ángulos en A´y B son iguales.

DEMOSTRACIÓN

El ángulo ABB´ y el AA´B´ son suplementarios porque ambos son ángulos inscritos y abarcan, entre los dos la circunferencia completa. 

Siendo el ángulo OBA suplementario de ABB´, resulta que OBA =  AA´B´

Aplicando el mismo criterio se demuestra la igualdad entre ángulos B´y A.

(Recomiendo que lo experimentes con Geogebra)

En la inversión de potencia negativa la igualdad de los ángulos de vértices en A´y B es inmediata, ya que ambos son inscritos que abarcan el mismo arco. Igualmente ocurre con los ángulos de los vértices A y en B´.

4.1.1 EJERCICIO

Determinar el inverso de un punto B dado el centro de inversión y el punto A y A'.

Geogebra

Se traslada el ángulo en verde del punto B al punto A', en la intersección de A'B' con OB' se encuentra el punto buscado. 

En inversión positiva se procede de la misma manera.

5. RECTA Y CIRCUNFERENCIA INVERSA

Por medio del siguiente gráfico interactivo podrás comprender visualmente que sucede con la inversa de una recta. Por Esther Alonso.

A continuación la lógica de la construcción:

Geogebra

De lo anterior resulta que, dada una inversión de potencia positiva, de las que se conoce su centro O y dos puntos homólogos A A´, si se traza una recta, r, por el punto A, perpendicular a la que los une con el centro de inversión, se puede determinar el homólogo de cualquier otro punto, B de r.







Para ello, se traza la recta que pasa por B O, sobre la que se encontrará B´en la intersección con la perpendicular a ella trazada por el otro punto, A´ homólogo del dado.  (Ver en geogebra)

Atendiendo a los ángulos rectos construidos en B´(B) se comprueba que necesariamente se encuentran en sus vértices sobre la circunferencia que pasa por el centro de inversión y por el otro punto, A´(A), homólogo dado.

Geogebra

Lo mismo pasa en una inversión negativa:

De todo ello, podemos decir:

La figura inversa de una recta (que no pase por O) es una circunferencia que pasa por el centro de inversión cuyo centro se encuentra en la recta perpendicular desde el centro de inversión a la recta original.

Recíprocamente la figura inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta.

5.1 EJERCICIOS: 

Realiza los dibujos con Geogebra y dibuja varios puntos homólogos de la recta y circunferencia para comprobar que es así.

• Se entregan los siguientes ejercicios para su realización y estudio:  Inversión con soluciones del IES María Zambrano (ejercicio lámina nº 40).  y Problemas de Inversión por Gonzalo Abella

Dibujar el homólogo de una recta dado el centro de inversión la cpd y la recta

Geogebra
Interesante animación de este ejercicio. Por Esther Alonso

6. CIRCUNFERENCIAS INVERSAS

Por medio del siguiente gráfico interactivo podrás comprender visualmente que sucede con la inversa de una circunferencia que no pasa por O. Por Esther Alonso.

EXPLICACIÓN RAZONADA

Dadas dos circunferencias O1 y O2, si se determina su centro de homotecia correspondiente, de razón positiva o negativa, y se permutan los puntos homólogos en la homotecia, se tiene: (Pincha para recordar que es la homotecia)

Geogebra

Lo que demuestra que dos circunferencias (no tangentes ni concéntricas) son inversas con centros de inversión coincidentes con los de homotecia.

Si multiplicamos los miembros de la igualdad, tenemos que:

Geogebra

OA⋅OA′⋅OB⋅OB′=K2

Pero, 

OA⋅OB=OT2

y  

OA′⋅OB′=OT2

Sustituyendo

OT2⋅OT2=K
2

OT⋅OT=K

Es decir, que los puntos de tangencia de las tangentes comunes (exteriores o interiores) son homólogos en la inversión tanto positiva como negativa, que liga a las circunferencias.

6.1  CASO PARTICULAR

Geogebra Esther Alonso

Si una circunferencia tiene como centro el polo, su inversa será concéntrica a ella. Por tanto, para hallarla únicamente tendremos que trazar una circunferencia con centro en O y que pase por el inverso de un punto.

6.2 EJERCICIOS

Se entregan los siguientes ejercicios para su realización y estudio:  Inversión con soluciones del IES María Zambrano (ejercicio lámina nº 41).

1. Dados el centro de inversión, una circunferencia que no pasa por O y un par de puntos inversos A y A'. Determinar la inversa de la circunferencia. Este ejercicio se puede realizar por medio de tres procedimientos:
1. Usando tres puntos.
2. Usando tangente desde el centro de inversión.
3. Usando dos parejas de puntos inversos.
2. Dados el centro de inversión, una circunferencia que no pasa por O y la CPD. Determinar la inversa de la circunferencia. Este problema se puede resolver de dos formas:
1. Usándo un diámetro alineado con el polo.
2. Usando una recta tangente desde el polo.

Veamos algunos ejercicios resueltos:

1. Inversión de una circunferencia exterior a la cpd. Por Esther Alonso

7. PROPIEDADES DE LA INVERSIÓN por medio de Geogebra

Comprueba las siguientes propiedades con Geogebra  y la ayuda del profesor Jose Luís Taraba en los dos vídeos que dispone sobre este tema:

• 22 Geogebra y Matemáticas. Inversión respecto a una circunferencia I
• 23 Geogebra y Matemáticas. Inversión respecto a una circunferencia II

22 Geogebra y Matemáticas

En los siguientes vídeos vamos a comprobar visualmente muchas de las propiedades de la inversión:

1. Al multiplicar las distancias al centro centro de dos puntos inversos se obtiene el radio al cuadrado.
2. El centro de inversión y dos puntos inversos están alineados.
3. Un punto y su inverso siempre están en distinto lado de la circunferencia.
4. Si el punto está en la circunferencia, coincide con su inverso.
5. El inverso del inverso es el punto de partida.

Además:

1. Construye el inverso de un punto situado dentro de la circunferencia. Y lo mismo con un punto exterior.
2. Dados dos puntos inversos respecto a una circunferencia, veremos como cualquier circunferencia que pase por los puntos es ortogonal a la circunferencia origen.
3. Sean A, A´y B, B´dos puntos simétricos respecto a una circunferencia. Entonces los cuatro puntos están situados en una misma circunferencia. Son concíclicos.

23 Geogebra y Matemáticas

En este vídeo verás como comprobar las siguientes propiedades:

1. Comprueba que la inversa de cualquier recta que no pase por el centro de inversión es una circunferencia que pasa por el centro de inversión. También el recíproco. Estudiar el caso de recta secante y recta tangente.
2. La inversión transforma circunferencias en circunferencias.
3. En la inversión se conservan los ángulos.
4. Comprobar que las rectas que pasan por el centros y las circunferencias que pasan por dos puntos simétricos son objetos invariables.

APUNTES

• Ed. Alarcón
• Homología, Afinidad e inversión. Ed. Donostiarra
• Apuntes resumidos de Inversión del blog http://dibujotecnicoiyii.blogspot.com
• Apuntes y problemas del IES María Zambrano. Potencia e Inversión. Inversión con soluciones.

EJERCICIOS

• Descarga e imprime los problemas planteados en uno618
• 10 en dibujo. Examen de PAU en Madrid con problema de inversión.
• Indice de problemas de inversión en Trapezoide.
• Una buena colección de problemas de Inversión por Gonzalo Abella

ENLACES DE INTERÉS

• Inversión en uno618

CURIOSIDAD

• Cadena de Pappus
• Mecanismo de Peaucellier y Mecanismo de Hart

Veamos dos curiosos inventos que data de la Revolución Industrial que nos demuestra lo que acabamos de ver (fuente: uno618):

Sistema Diédrico : Punto, recta y plano

Pablo Picaso

David Hockney. El último cubista

Revisa los contenidos de SISTEMA DIÉDRICO establecidos para este curso.

En el siguiente vídeo vamos a recordar principios básicos de geometría proyectiva:

• La necesidad de representar los objetos de forma objetiva.
• El invento de la proyección y sus tipos.
• Elemento fundamentales de la geometría y sus relaciones básicas.
• El diedro en el que proyectamos objetos y su representación en el plano.

ÍNDICE DEL TEMA

Estudiaremos esta parte por medio de la página de de José Antonio Cuadrado. "Laboratorio virtual para el estudio del diédrico"

1. El punto.

Sistema diedrico el punto from epvmanantiales
• Alfabeto del punto.
• Determinación de puntos mediante coordenadas
• Observaciones y convenios para el dibujo (GD F. Izquierdo Adensi 1ª ed. pág. 30)

2. Representación de la recta.

La recta en diédrico from epvmanantiales
• Puntos notables. 
• Partes vistas y ocultas.

Ejercicio partes vistas y ocultas Esther Alonso

• Posiciones particulares de la recta. 
• Determinación de las trazas de una recta de perfil. En el siguiente enlace Esther Alonso nos explica con detalle todos los problemas sobre rectas de perfil.

Ver en uno618

• Posiciones respecto a los bisectores.
• Rectas secantes y paralelas.

3. Representación del Plano. 

El plano en Diédrico de epvmanantiales
• Rectas contenidas en un plano y punto en un plano.
• Restas importantes del plano:
• Horizontales y frontales del plano.

• Rectas de máxima pendiente y máxima inclinación.

• Posiciones particulares del plano.

Ver en uno618

• Posiciones relativas a los bisectores.

4. Relaciones de pertenencia.

5. Ejercicios en uno618

5.1 Figuras contenidas en planos. Por Esther Alonso.

BIBLIOGRAFÍA

• Geometría descriptiva. F. Izquierdo Asensi

APUNTES

• Apuntes completos de Diédrico, del profesor  Gerardo Martín Lorenzo
• Apuntes con ejercicios del IES Nou Derramador
• Apuntes resumidos del IES Pobra Caraminal
• Apuntes diédrico por Antonio Cuesta. Muy completos
• Libro de texto
• Libro de texto. Ed. Donostiarra. Otra versión
• Diédrico en educaciónplastica.net
• Jose Antonio Cuadrado. El plano, La recta, el punto

CANALES DE VÍDEO

• Canal de vídeo de 8CIFRAS con vídeos muy bien explicados sobre diédrico.
• Canal de la UPV con graficos 3d muy buenos.
• Dibujo Técnico. Expresión plástica. DT Ismael IM

GEOGEBRA

• Jose Rebollo. Dibujos diédrico con geogebra.
• Luis Pérez. Diédrico y su espacio DiAxo.

EJERCICIOS

• Ejercicios del profesor Gonzalo Abella.
• Determina puntos por medio de coordenadas.
• Hallar las trazas de una recta de perfil.
• Un monton de ejercicios resueltos del IES Nou Derramador
• Ejercicios de dominicocoval.org sin resolver.
• LIBRO: GEOMETRÍA DESCRIPTIVA: EJERCICIOS RESUELTOS YBIBLIOGRAFÍA COMENTADA Edición revisada y ampliada Incluye Ejercicios Resueltos de Diédrico Directo. Dr. Juan Carlos Gómez Vargas Departamento de Expresión Gráfica, Arquitectónica y en la Ingeniería. UNIVERSIDAD DE GRANADA 

• Diédrico en trazoide
• Ejercicios resueltos
• Ejercicios resueltos. Dr. Juan Carlos Gómez Vargas Departamento de Expresión Gráfica, Arquitectónica y en la Ingeniería. UNIVERSIDAD DE GRANADA
• Exámenes de PAU de diédrico por temas. Juan Isidoro
• PAU Diédrico en PD

PAU

• PAU en Valencia por las laminas.es
• En la web del profesor. Ejercicios resueltos

DIÉDRICO DIRECTO

• DIÉDRICO DIRECTO. Descargar el libro de Ricardo Bartolomé Rodriguez: GEOMETRIA DESCRIPTIVA. DIÉDRICO DIRECTO. APLICACIONES EN EL DIBUJO TÉCNICO
• Diédrico directo
• Poliedros regulares en 3D
• S. Diédrico. Método directo. Ejercicios de la Facultad de BBAA

Tema 7. diedrico directo fundamentos de garbiñe larralde urquijo

Homología y Afinidad

Grabado en perspectiva de Alberto Durero

Refresca los contenidos propuestos para este curso según BOE

Nos enfrentaremos a estos contenidos por medio de la excelente página de José Antonio Cuadrado "Homologías".

1. Homología. Definición y elementos.

La homología es una transformación anamórfica (no es isomórfica ni isométrica), pues no mantiene la forma ni el tamaño de las figuras. Transforma los puntos del plano: A, B, C, ... en puntos del plano A', B' C', ... de modo que: dos puntos homólogos A y A' están alineados con un punto fijo O que es el centro de la homología; dos rectas homólogas r y r' se cortan en una recta doble llamada eje de la homología.

1.1 Elementos dobles en la homología

Si observamos la figura anterior podremos encontrar puntos dobles, es decir homólogos de sí mismos, como el centro O y los que pertenecen al eje.
En consecuencia:

• Si una recta corta al eje, su homológica también lo cortará en el mismo punto.
• Si una figura es tangente al eje, su homológica también lo será en el mismo punto.
• Si una figura no tiene puntos comunes con el eje, su homológica tampoco.
• Si una figura pasa por el centro, su homológica también pasará por él. Si estas figuras son curvas, serán tangentes en el citado centro.

En la homología hay rectas dobles: el eje que es doble punto a punto, y todas las rectas que pasan por O, aunque solo tengan dos puntos dobles, el propio punto O y los puntos que interceptan el eje.

2. Rectas límite. 

Veamos el vídeo realizado por Nestor Martín que me parece muy clarificador en cuanto a las rectas límite. También, observa la importancia que tiene practicar el dibujo a mano alzada para la comprensión del dibujo:

En perspectiva cónica a la recta límite l se llama línea del horizonte como bien nos ha explicado el profesor Néstor Martín en su vídeo.

• Veamos también la explicación que nos ofrece PDD sobre las Rectas límite.

• En la página del profesor Luis Pérez podrás comprobar de forma interactiva:

• El lugar geométricos de las rectas límite. Realiza los siguientes ejercicios:

• Dada una pareja de puntos homólogos, centro y eje, determinar L.
• Dada una pareja de puntos homólogos, centro y eje, determinar L'.
• Dado centro, eje y recta límite L, calcular el homólogo de A. 
• Dado centro, eje y recta límite L', calcular el homólogo de A.

• Posición relativa de las rectas límite.
• Propiedades de las rectas límite.

2.1 EJERCICIOS

2.1.1. Calcular el homólogo de un punto dado el eje, centro y recta límite L.
2.1.2. Calcular el homólogo de un punto dado el eje, centro y recta límite L'.
2.1.3. Calcular el homólogo de una recta dado el eje, centro y recta límite L.
2.1.4. Calcular el homólogo de una recta dado el eje, centro y recta límite L.

3. DEL ESPACIO AL PLANO

La siguiente presentación nos puede ayudar a comprender el proceso de pasar de una homografía en el espacio a una homología en el plano.

Homologia de Dibujing

4. DETERMINACIÓN DE UNA HOMOLOGÍA

Para definir una homología son necesarios tres datos entre el eje, el centro, una pareja de rectas, la dirección del eje, un par de puntos homólogos, rectas límite, etc. De entre todos los casos posibles veamos como se resuelven los siguientes casos expuestos en la web de Jose Antonio Cuadrado hasta su completa resolución. 

1. El centro, el eje y un par de puntos homólogos.
2. El centro, el eje y una recta límite.
3. El centro y dos rectas límites.
4. El eje, una recta límite y un par de puntos homólogos.
5. La dirección del eje y dos parejas de puntos homólogos.

5. CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS HOMÓLOGAS

• 5.1 Homólogo de un Triángulo.
• Selectividad andalucía 2009.
• Pau Asturias 2014
• 5.2 Homólogo de un cuadrado.
• 5.3 Homólogo de una circunferencia:
• Circunferencia a elipse. (Otro vídeo)
• Circunferencia a hipérbola.
• Circunferencia a parábola.

6. TRANSFORMACIÓN DE FIGURAS

En este apartado veremos qué modificaciones son necesarias realizar en los elementos de una homología para conseguir transformar formas en otras determinadas.

• 6.1 Transformar un triángulo escaleno en equilátero. Explicado en el blog "Homologías" de Néstor Martín.
• 6.2 Transformar un cuadrilátero por homología en un cuadrado. Otro vídeo.

7. CASOS PARTICULARES DE HOMOLOGÍA

Si en una homología el eje, el centro o ambos a la vez se presentan como puntos impropios o están en el infinito, estos casos de transformaciones se consideran como casos límites de homología.

Veamos la síntesis que nos muestra Luis Pérez en su web: Homotecia y afinidad

7.1 Eje impropio: HOMOTECIA

Este caso particular de homología se produce cuando el eje es impropio, es decir los planos que cortan el haz proyectivo son paralelos y, por tanto, los puntos donde deben cortar las parejas de rectas homológicas son impropios y por tanto paralelas. 

Gráfico interactivo por
Antonio L. Blanco Ventosa

Esta condición convierte a la homología en una homotecia de centro CH y razón:

CHJ/CHJ'=CHI/CHI'= constante

Si además, el valor de la razón es -1 tendremos una simetría central o un giro de 180º.

Repasa los conceptos de homotecia en la web de Esther Alonso.

7.2 Centro impropio: AFINIDAD

La afinidad se produce cuando el centro de homología es impropio y, por tanto, los rayos de homología son paralelos.
Este caso particular se denomina homología afín o afinidad.

Visita la web de Jose Antonio Cuadrado

Estudiaremos con más profundidad este caso particular a continuación por su importancia en el estudio de los sistemas de representación basados en la proyección cilíndrica que se verán más adelante.

7.3 Centro impropio y eje impropio: TRASLACIÓN

En este caso, los rayos de homología son paralelos y la pareja de rectas homológicas también lo son.

8. AFINIDAD 

Veamos la síntesis que nos muestra Luis Pérez en su web: Homotecia y afinidad.

Para el estudio de esta parte nos dirigiremos a la web "Dibujo Industrial y Civil" y después os propongo resolver los siguientes ejercicios:

• 8.1  Vídeo Figura afín de un hexágono (Selectividad 2009).

• 8.2 Afinidad de una circunferencia. 

La figura afín de una circunferencia siempre es una elipse. Vamos a ver tres formas distintas de resolver este problema:

1. Dibujar la figura afín de una circunferencia por puntos.

Visita la web

2. Dibujar un par de diámetros conjugados de la elipse afín de a la circunferencia dada.
3. Obtener los diámetros principales de la elipse afín de la circunferencia dada. También puedes ver este procedimiento paso a paso en la web de José Antonio Cuadrado.

En el texto de la editorial Donostiarra página 11 están muy bien explicados estos procedimientos añadiendo una dificultad más: Sea la afinidad definida por el eje, la dirección  y la razón K=3/4

• 8.3 Vídeo Cuadrado afín de un rectángulo. 
• 8.4 Transformar un triángulo escaleno a equilátero en Mongge
• 8.5 En Mongge: Transformar por afinidad, el paralelogramo dado en un cuadrado.
• 8.6 Rombo selectividad.

• 8.7 Más Ejercicios de Afinidad paso a paso

9. EJERCICIOS

• Ejercicios de Homología paso a paso.
• Ejercicios de homología en las láminas.es (Ver apuntes). Soluciones
• Ejercicios en Trazoide homología.
• Ejercicios de Afinidad del profesor Gonzalo Abella.
• Ejercicios de Homología del profesor Gonzalo Abella.

10. APUNTES

• Ed. Donostiarra. Transformaciones geométricas.
• Editorial Egein: Nociones de geometría proyectiva 
• Homología en Lasláminas.es
• Homología de forma resumida.

11. VÍDEOS

• El canal de Néstor Martín con vídeos muy clarificadores que te ayudarán a dibujar a mano alzada y comprender los entresijos de la homología.
• Homología explicada por medio de sombras.
• Homología plana, espacial y rectas límite.
• Determinación de una homología.
• Ejercicios de homologías en el plano y en el espacio.
• Más ejercicios de homologías.
• Homólogo de un triángulo con dos puntos en el infinito (ejercicio 2 )

Cónicas III: Parábola

De MichaelMaggs Edit by Richard Bartz - Trabajo propio, CC BY-SA 3.0,

Ver vídeo de la parábola al circunferencia

1. LA PARÁBOLA: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES

Puedes seguir estudiando todos estos conceptos desde la estupenda página elaborada por José Antonio Cuadrado: Curvas Cónicas.

1.1. Definición: 

Geogebra

La parábola es una curva plana, abierta y de una sola rama.  

Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco, y de una recta fija d, llamada directriz. 

Tiene un vértice A y un eje de simetría que pasa por A y por el foco y es perpendicular a la directriz. La tangente en el vértice a la curva es paralela a la directriz.

Visita UNO618 para ver el gráfico interactivo

1.2. Elementos y propiedades más importantes:

• El vértice, como otro punto cualquiera, equidista de la directriz y del foco, es decir DA = AF.

• Los radios vectores del punto P son CP y PF.

• Se llama parámetro 2p de la parábola, al igual que en la elipse y la hipérbola, a la longitud de la cuerda que es perpendicular al eje del foco.

• La directriz de la curva hace de circunferencia focal de la parábola, en este caso de radio infinito. Según esto, la directriz es el lugar geométrico de los puntos del plano simétricos al foco respecto de una tangente.

• La tangente en el vértice, aunque es una recta hace de circunferencia principal y se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por el foco a cada una de las tangentes. Visita la página de Jose Antonio Cuadrado para comprobar esta definición

• El foco equidista del punto de tangencia de una tengente y del punto donde esta corta al eje de la curva.

2. CONSTRUCCIÓN

CONSTRUCIONES GEOMETRICAS - CÓNICAS Construcciones elementales.

2.1. Parábola por puntos.

J.A. Cuadrado

Pincha para ver vídeo paso a paso

2.2 Parábola por haces proyectivos.

Ver vídeo

EJERCICIO: selectividad en Asturias 2014

2.3. Parábola por envolventes.

Parábola plegando papel (Por envolventes)

EJERCICIOS:

1. Determinar el foco y directriz de parábola dado un punto, el vértice y eje.
2. Parábola dado el Eje, Foco y un punto. PAU de Dibujo Técnico de Asturias, junio 2014.
3. Parábola dada la directriz y dos tangentes.

3. RECTAS TANGENTES A LA PARÁBOLA

3.1. Tangente por un punto P de la Parábola.

La tangente a la parábola en el punto P es la recta t, bisectriz de los radios vectores de ese punto. 

La normal a la curva en el punto P es la recta n, perpendicular a la tangente.

3.2 DIRECTRIZ DE LA PARÁBOLA

geogebra

Si se representa una tangente cualquiera a la curva, se comprueba que el simétrico de F respecto de la tangente es el F', situado sobre la perpendicular a la directriz desde el punto de tangencia T. 

Lo que permite enunciar que:

El lugar geométrico que ocupan los simétricos del foco respecto de las tangentes a la parábola es la directriz.

3.3 Tangente a la parábola por un punto exterior.

Geogebra

Siendo P el punto exterior dado, los simétricos de F' y F'' respecto a las tangentes buscadas, deben estar en la directriz de la parábola y, además, equidistar de P. Por tanto se encuentran trazando la circunferencia de centro en P y radio PF.

Como las tangentes pedidas deben de ser mediatrices de los segmentos F F' y FF'', y por supuesto, pasaran por el punto P.

Los puntos de tangencia se encontrarán sobre las rectas perpendiculares a la directriz que pasan por F' y F''.

Recomiendo ver los gráficos interactivos en uno618.

3.4 Tangentes a una parábola paralelas a una dirección dada

Sea d la dirección dada.

Por ser la tangente que se buscan paralelas a esa dirección, la perpendicular a ellas desde un foco F, lo será también a la dirección dada.

Trazada por F la perpendicular a la d, quedaran determinados sobre la directriz F' simétrico del foco F respecto de las tangentes buscadas.

La mediatriz t del segmento FF', paralela a la dirección, es la tangente pedida.

El punto de tangencia se encuentra sobre t, en las rectas perpendicular a la directriz que pasan por F'.

Ver gráfico de uno618

EJERCICIO: Realizar los siguientes ejercicios explicados en este vídeo por Esther Alonso

• Trazar la parábola dados dos puntos y su foco.
• Parábola dado dos tangentes y su foco. 
• Parábola dada tangente el eje y su foco.

Otro:

• Dadas dos tangentes y sus puntos de tangencia determinar el eje, la directriz y el foco.

4. TANGENTE EN EL VÉRTICE DE LA PARÁBOLA

Geogebra

Si la dirección dada es la de la directriz, la tangente pasa por el punto medio A. Esto es la tangente en el vértice de la curva.

Si trazamos otra tangente por un punto cualquiera de la curva, se observa que el triángulo FDC, el punto A es el punto medio de FD y M lo es de FC y por tanto AM es paralela media, siendo M el pie de la perpendicular del foco a la tangente, t.
Por tanto:

La tangente en el vértice de la parábola es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde el foco a las tangentes.

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4.1 Tangentes a la parábola desde un punto exterior utilizando la circunferencia principal.

Según lo dicho para la circunferencia principal, el pie de la perpendicular, M, (M'), deben de estar sobre la circunferencia principal, trazando la circunferencia de diámetro PF, lugar geométrico de los vértices de los ángulos rectos cuyos lados pasan por P y F2 (arco capaz), quedará determinada la tangente, t y t' buscadas.

Situando el simétrico de F2, F2' y F2'' respecto de la tangente y uniendo estos puntos con F1 se obtendrán los puntos de tangencia T y T' buscados.

4.2 Tangentes a la parábola paralelas a una dirección dada utilizando la circunferencia principal.

La perpendicular a la dirección dada, lo será también a las tangentes pedidas. De esta forma quedarán determinados los puntos M y M' una vez trazada la circunferencia principal.Los puntos de tangencia se encuentran donde se une el foco con los simétricos del otro foco.

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6. PUNTOS DE INTERSECCIÓN RECTA 

La parábola es el lugar geométrico de los puntos que son centros de circunferencias tangentes que, pasando por un foco son tangentes a la directriz.

Descubre este lugar geométrico en la definición de parábola que nos ofrece José Antonio Cuadrado.

Es igual que en los casos anteriores, con la salvedad de que ahora la circunferencia focal es una recta, la directriz.

Se resuelve este problema de tangencias ya estudiado ejercicio Nº 2 "Hallar las circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta".

EJERCICIOS

• Colección de ejercicios de lasláminas. es. Soluciones
• Ejercicios de cónicas por Gonzalo Abella

APUNTES

• Introducción a las curvas técnicas. Repaso de los estudiados el curso pasado.
• Curvas Técnicas.
• Estudio de la elipse, parábola e hiperbola en la web de José Antonio Cuadrado
• La elipse en laminas.es
• La parábola en láminas.es
• La hipérbola en láminas.es
• Apuntes completos Ed. Sandoval
• Apuntes completos del IES Alfonso X. Desde tangencias y cónicas
• Presentación con los trazados paso a paso. Otra versión

CURIOSIDADES

• Trazado de la hipérbola con hilos
• Trazado de la hipérbola doblando papel
• El hiperboloide
• Estructura hiperboloide en Gaudí.
• Hiperboloide flexible con palos y gomitas
• Espirógrafo On line