DEFINICIÓN
La Inversión es
una transformación geométrica
anamórfica ( la figura transformada es totalmente diferente a la figura de partida.
Ver generalidades en este mismo blog). En la inversión se tienen que cumplir lo siguiente:
- Dos puntos inversos (A, A’) están alineados con un punto fijo llamado Centro de Inversión (O).
- El producto de la distancia de un punto al Centro de Inversión por la distancia de su inverso al Centro de Inversión es constante (K) y se llama Potencia de Inversión.
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| K positiva |
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| K negativa |
Esto quiere decir que OA·OA’ = OB·OB’ = K
Si los puntos homólogos, A y A´, B y B´, ..., están a un mismo lado de O, la potencia es positiva.
Si están a distinto lado de O, K es negativa.
(Comprueba con la imagen interactiva del profesor
Lúis Pérez si se cumplen estas propiedades)
PROPIEDADES DE LA INVERSIÓN
1. LOS PARES DE PUNTOS HOMÓLOGOS EN LA INVERSIÓN SON CONCÍCLICOS
Según la definición de potencia de un punto respecto a una circunferencia, se verifica que:
OA·OA’ = OB·OB’ = K,
Correspondiéndose con lo establecido para la inversión permite enunciar que dos pares de puntos homólogos en la inversión, son concíclicos, es decir, pertenecen a una circunferencia.
1.1 EJERCICIO:
Dados el centro de inversión, O y dos puntos homólogos A A´ y otro punto B, hallar su inversión.
1.2 EJERCICIO:
Dados dos puntos A A´, homólogos, en el centro de inversión O, y un punto B, en la recta que los contiene, hallar su homólogo.
Puesto que la potencia de inversión, K, implica que:
OA⋅OA´=OB⋅OB´=K
Si trazamos una circunferencia cualquiera AA´y una secante a ella que pase por O, se verificará:
Determinando, Luego, la circunferencia que pasa por B M M, resultará en su intersección con la recta OA, el punto B´, homólogo de B.
OA⋅OA´=OM⋅OM
OM⋅OM=OB⋅OB´
OA⋅OA´=OB⋅OB´=K
Cuando la potencia es negativa procederemos de la misma manera.
2. CIRCUNFERENCIA DE PUNTOS DOBLES
En la inversión de potencia positiva existen puntos dobles, es decir, homólogos de sí mismos.
Es evidente que:
OT2=OA⋅OA′=KLuego , la circunferencia de centro en O y radio
OT=K−−√ contiene a los puntos dobles. El segmento OT, por tanto es media proporcional OA y OA' y se resuelve utilizando la construcción del
Teorema del Cateto.
Todos los puntos que pertenecen a ella tienen sus inversos en el mismo lugar. Coinciden por lo tanto A con A' y por extensión T con T'; esto significa que es una circunferencia doble (T = T') de puntos dobles.
Recibe el nombre de
"circunferencia de autoinversión" o
"circunferencia raiz de K".
2.1 EJERCICIO:
Dibuja el inverso del punto A (punto exterior), conociendo la c.p.d
Dibuja el inverso del punto A (punto interior), conociendo la c.p.d
2.2 EJERCICIO
Dibuja la circunferencia de puntos dobles dados el centro de inversión y una los puntos inversos A, A'.
Este problema se resuelve por arco capaz del segmento OA' de 90º o mediante un tercer punto.
Veamos esta última solución:
Se elije un punto arbitrario B y calculamos el homólogo de B' por medio de una circunferencia auxiliar que pasa por A A' y B.
La potencia del centro de inversión O respecto a la circunferencia auxiliar es la potencia de inversión, dado que los puntos de tangencia desde O a dicha circunferencia han de ser sus propios inversos. Se traza la recta tangente desde O y el segmento OT es la raíz de la potencia y, por tanto, el radio de la circunferencia de puntos dobles buscada.
3. RECTAS INVERSAS DE SÍ MISMAS
Todas las rectas que pasan por el punto O, centro de inversión, son homólogas de sí mismas, sin ser dobles todos sus puntos, a excepción de los pertenecientes a la circunferencia de puntos dobles:
4. CIRCUNFERENCIAS INVERSAS DE SÍ MISMAS
Lo mismo sucede con todas las
circunferencias que pasan por dos puntos homólogos.
Sin ser dobles todos sus puntos (a excepción los de intersección con la circunferencia de puntos dobles, en la inversión de potencia positiva),
son homólogas de sí mismas. Se cumple en todos los casos:
4.1 ÁNGULOS IGUALES QUE SE FORMAN
Dos rectas concurrentes en O son cortadas por dos antiparalelas respecto de ellas en puntos inversos de una inversión de centro O. Si se unen mediante rectas dos puntos AB y también sus homólogos A´B´, los ángulos en A´y B son iguales.
DEMOSTRACIÓN
El ángulo ABB´ y el AA´B´ son suplementarios porque ambos son ángulos inscritos y abarcan, entre los dos la circunferencia completa.
Siendo el ángulo OBA suplementario de ABB´, resulta que OBA = AA´B´
Aplicando el mismo criterio se demuestra la igualdad entre ángulos B´y A.
(Recomiendo que lo experimentes con Geogebra)
En la inversión de potencia negativa la igualdad de los ángulos de vértices en A´y B es inmediata, ya que ambos son inscritos que abarcan el mismo arco. Igualmente ocurre con los ángulos de los vértices A y en B´.
4.1.1 EJERCICIO
Determinar el inverso de un punto B dado el centro de inversión y el punto A y A'.
Se traslada el ángulo en verde del punto B al punto A', en la intersección de A'B' con OB' se encuentra el punto buscado.
En inversión positiva se procede de la misma manera.
5. RECTA Y CIRCUNFERENCIA INVERSA
Por medio del siguiente gráfico interactivo podrás comprender visualmente
que sucede con la inversa de una recta. Por Esther Alonso.
A continuación la lógica de la construcción:
De lo anterior resulta que, dada una inversión de potencia positiva, de las que se conoce su centro O y dos puntos homólogos A A´, si se traza una recta, r, por el punto A, perpendicular a la que los une con el centro de inversión, se puede determinar el homólogo de cualquier otro punto, B de r.
Para ello, se traza la recta que pasa por B O, sobre la que se encontrará B´en la intersección con la perpendicular a ella trazada por el otro punto, A´ homólogo del dado.
(Ver en geogebra)Atendiendo a los ángulos rectos construidos en B´(B) se comprueba que necesariamente se encuentran en sus vértices sobre la circunferencia que pasa por el centro de inversión y por el otro punto, A´(A), homólogo dado.
Lo mismo pasa en una inversión negativa:
De todo ello, podemos decir:
La figura inversa de una recta (que no pase por O) es una circunferencia que pasa por el centro de inversión cuyo centro se encuentra en la recta perpendicular desde el centro de inversión a la recta original.
Recíprocamente la figura inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta.
5.1 EJERCICIOS:
Realiza los dibujos con
Geogebra y dibuja varios puntos homólogos de la recta y circunferencia para comprobar que es así.
Dibujar el homólogo de una recta dado el centro de inversión la cpd y la recta
6. CIRCUNFERENCIAS INVERSAS
Lo que demuestra que dos circunferencias (no tangentes ni concéntricas) son inversas con centros de inversión coincidentes con los de homotecia.
Si multiplicamos los miembros de la igualdad, tenemos que:
OA⋅OA′⋅OB⋅OB′=K2Pero,
